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| Aufgabe | Eine Abbildung f : D [mm] \to\IR [/mm] , D [mm] \subset \IR, [/mm] heißt beschränkt, wenn ihr Wertebereich f(D) beschränkt ist.
Es sei
[mm] B(D):=\{f : D \to\IR | f beschränkt }
[/mm]
mit der Abbildung
d( f , g ):= sup | f(x) - g(x) |
x [mm] \in [/mm] D
für alle f , g [mm] \in [/mm] B(D) versehen.
(a) Zeigen Sie, dass d(f , g) für f, g [mm] \in [/mm] B(D) stets endlich ist.
(b) Zeigen Sie, dass d eine Metrk ist. |
Könnt ihr mir bitte weiter helfen, denn ich komme mit dieser aufgabe gar nicht klar.
Also bei b) muss ich da die 3 bedingungen für eine Metrik überpfrüfen????
Ich danke euch jetzt schon mal sehr....
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Hi,
du hast $ B(D) := [mm] \{ f : D\to \IR : f(D) < \infty \} [/mm] $ versehen mit der Abbildung
$ [mm] \operatorname{ d}(f,g) [/mm] := [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)-g(x) | $
Du sollst zeigen, dass
a) $ [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)-g(x) | [mm] <\infty [/mm] $ für $ f,g [mm] \in [/mm] B(D) $
Es gilt $ [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)-g(x) | [mm] \le \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)| + [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | g(x)| $ und da $ f,g [mm] \in [/mm] B(D) $ gilt [mm] $\sup_{x \in D} [/mm] | f(x) | < [mm] \infty [/mm] $ und $ [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | g(x) | [mm] <\infty [/mm] $
Also ist insgesamt $ [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)-g(x) | < [mm] \infty [/mm] $
b) Zeige, dass $ [mm] \operatorname{ d}(f,g) [/mm] := [mm] \sup_{x \in D} [/mm] | f(x)-g(x) | $ eine Metrik ist.
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> Also bei b) muss ich da die 3 bedingungen für eine Metrik
> überpfrüfen????
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Jep.
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> Ich danke euch jetzt schon mal sehr....
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Sedaka |
Die zweifach definierte positive Definiertheit und die Symmetrie zu beweisen, war nicht das große Problem, woran ich allerdings jetzt noch festhänge ist der Beweis, dass die Dreiecksungleichung hier gilt. Den Ansatz bekomme ich schon nicht eindeutig aufgestellt: [mm] \sup_{x\epsilon D} [/mm] | f(x)-g(x) | [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] . [mm] \sup_{x\epsilon D} [/mm] |f(x)| - [mm] \sup_{x\epsilon D} [/mm] |g(x)|?
MfG Simon> Hi,
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen:
$d(f,g) [mm] \le [/mm] d(f,h)+d(h,g)$ für alle f,g,h [mm] \in [/mm] B(D)
FRED
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