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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 02.05.2011 | | Autor: | pfanne |
| Aufgabe | Auf M:= [mm] \IR^2 [/mm] sei [mm] d(x,y):=max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}
[/mm]
Weisen Sie nach, dass d eine Metrik ist. |
Hallo
ich habe ein Problem beim Beweis der Dreiecksungleichung.
ich habe o.B.d.A gesagt, dass
[mm] |x_1-y_1|\leq |x_1-z_1|+|z_1-y_1| [/mm] ist
Dann habe ich quadriert und ein bisschen gekürzt und es kam raus
[mm] -2xy\leq -2xz+z^2+2|x-z||z-y|+z^2-2zy
[/mm]
entweder ich bin auf dem Holzweg oder ich sehe einfach nicht, warum es stimmen soll.
wie ich dort was abschätzen könnte, sehe ich auch nicht
ich bedanke mich im Voraus
grüße
pfanne
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Moin pfanne,
> Auf M:= [mm]\IR^2[/mm] sei [mm]d(x,y):=max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}[/mm]
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> Weisen Sie nach, dass d eine Metrik ist.
> Hallo
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> ich habe ein Problem beim Beweis der Dreiecksungleichung.
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> ich habe o.B.d.A gesagt, dass
> [mm]|x_1-y_1|\leq |x_1-z_1|+|z_1-y_1|[/mm] ist
Was hat das mit o.B.d.A zu tun? Diese Dreiecksungleichung gilt immer. Man kann so abschätzen:
[mm] (i)\qquad $|x_1-y_1|\leq |x_1-z_1|+|z_1-y_1|\leq [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
[mm] (ii)\qquad $|x_2-y_2|\leq |x_2-z_2|+|z_2-y_2|\leq [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
Aus (i) und (ii) folgt die Behauptung:
[mm] \qquad $d(x,y)=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}\leq [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
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> Dann habe ich quadriert und ein bisschen gekürzt und es
> kam raus
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> [mm]-2xy\leq -2xz+z^2+2|x-z||z-y|+z^2-2zy[/mm]
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> entweder ich bin auf dem Holzweg oder ich sehe einfach
> nicht, warum es stimmen soll.
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> wie ich dort was abschätzen könnte, sehe ich auch nicht
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> ich bedanke mich im Voraus
>
> grüße
> pfanne
LG
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