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| Aufgabe | Man soll zeigen, dass für a,b [mm] \in \IC^{n}; [/mm] d(a,b) = | sin [mm] \alpha [/mm] |, [mm] \alpha \in [0,\pi] [/mm] eine Metrik ist.
Dafür benötigt man cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac {a^{H}b}{\sqrt{(a^{H}a)(b^{H}b)}} [/mm] und sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{1-cos^{2}\alpha}.
[/mm]
Um festzustellen ob es sich um eine Metrik handelt, muss man die Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung zeigen.
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Definitheit und Symmetrie sind kein Problem, aber bei der Dreiecksungleichung komme ich nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie man zu einer Lösung kommt.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Sa 22.04.2006 | | Autor: | self |
Hast du schon versucht dir die Sache geometrisch klar zu machen?
Die Definition von [m] cos ( \alpha ) [/m] entspricht ja genau der Definition des Winkels der Ortsvektoren a und b untereinander. Bzgl des Cosinus ist es irgendwie klar, dass der Winkel zwischen a und c höchstens so groß ist wie der zwischen a und b plus den zwischen b und c. Dann musst du nur noch überlegen, was die Umformung in den Sinus bewirkt.
Ist nur 'n Ansatz, aber vielleicht bringt dich das ja weiter.
Grüße, Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Mike67379 |
Danke für die Hilfe!
Hab mir das geometrisch überlegt und Additionstheoreme angewendet und schon war ich dort!
Michael
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