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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 17.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Wir definieren:
[mm] d*:f(n)=\begin{cases} X x X \to \IR & \mbox{ } \mbox{ } \\ (p,q)\to min(1,d(p,q))& \mbox{} \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Man beweise, dass (X,d*) ebenfalls ein metrischer Raum ist. |
[mm] zz:\\ [/mm]
(a) d*(p,q) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \\
[/mm]
(b) d*(p,q) = d*(p,q)
(c) d*(p,q) [mm] \le [/mm] d*(p,q) + d*(p,r)
(d) d*(p,q) = 0 [mm] \gdw [/mm] p=q
(a) Fall 1 : d*(p,q) [mm] \to [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 > 0 [mm] \\
[/mm]
Fall2 : d*(p,q) [mm] \to [/mm] d(p,q) klar, da (d,X) metr. Raum
[mm] \\\\
[/mm]
(b) d*(p,q) = d*(p,q) klar
[mm] \\\\
[/mm]
(c) Fall1: d*(p,q) [mm] \to [/mm] 1 [mm] \\
[/mm]
[mm] r_i \in [/mm] X [mm] \\
[/mm]
d*(p,q) = [mm] 1\\
[/mm]
d*(p,r) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \\
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] d*(p,q) [mm] \le [/mm] d*(p,q)+d*(p,r) [mm] \\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
Fall 2: d*(p,q) [mm] \to [/mm] d(p,q) klar wegen (X,d) metr. Raum
[mm] \\\\
[/mm]
(d) Falls p=q [mm] \Rightarrow [/mm] d*(p,q) [mm] \to [/mm] d(p,q) wegen 0 < 1.
[mm] \Rightarrow [/mm] d(p,q) = 0 [mm] \gdw [/mm] p=q wegen (X,d) metr. Raum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 17.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Entschuldigung ich habe jetzt gerade erst gemerkt,
dass ich bei (b) d*(p,q)=d*(p,q) geschrieben habe.
Gemeint ist die Eigenschaft der Symmetrie, also d*(p,q)=d*(q,p):
Dazu Fall1: d*(p,q) = d(p,q) erfüllt die Eigenschaft, weil (X,d) nach Voraussetzung ein metr. Raum ist und
im Fall2: d*(p,q)=1, dann ist d*(q,p) ebenfalls 1, wenn d*(p,q) > 1 oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mo 18.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei (X,d) ein metrischer Raum. Wir definieren:
> [mm]d*:f(n)=\begin{cases} X x X \to \IR & \mbox{ } \mbox{ } \\ (p,q)\to min(1,d(p,q))& \mbox{} \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> Man beweise, dass (X,d*) ebenfalls ein metrischer Raum
> ist.
> [mm]zz:\\[/mm]
> (a) d*(p,q) [mm]\ge[/mm] 0
> (b) d*(p,q) = d*(p,q)
> (c) d*(p,q) [mm]\le[/mm] d*(p,q) + d*(p,r)
Nein. [mm] $d^\ast(p,q)\le d^\ast(p,r) [/mm] + [mm] d^\ast(q,r)$ [/mm] für alle [mm] $p,q,r\in [/mm] X$.
> (d) d*(p,q) = 0 [mm]\gdw[/mm] p=q
>
>
> (a) Fall 1 : d*(p,q) [mm]\to[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 > 0 [mm]\\[/mm]
> Fall2 : d*(p,q) [mm]\to[/mm] d(p,q) klar, da (d,X) metr.
> Raum
Ein bischen unpräzise aufgeschrieben.
[mm] d^\ast(p,q) = \min(1,d(p,q)) [/mm]
bedeutet dass [mm] $d^\ast(p,q)\ge [/mm] 1$ und dass [mm] $d^\ast(p,q)\ge [/mm] d(p,q)$. Beides ist [mm] $\ge [/mm] 0$.
> (b) d*(p,q) = d*(p,q) klar
> (c) Fall1: d*(p,q) [mm]\to[/mm] 1 [mm]\\[/mm]
> [mm]r_i \in[/mm] X [mm]\\[/mm]
>
> d*(p,q) = [mm]1\\[/mm]
> d*(p,r) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\\[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] d*(p,q) [mm]\le[/mm] d*(p,q)+d*(p,r) [mm]\\[/mm]
Was willst du damit sagen? Siehe oben.
> (d) Falls p=q [mm]\Rightarrow[/mm] d*(p,q) [mm]\to[/mm] d(p,q) wegen 0 < 1.
> [mm]\Rightarrow[/mm] d(p,q) = 0 [mm]\gdw[/mm] p=q wegen (X,d) metr. Raum.
Auch wieder unpräzise aufgeschrieben:
[mm] p=q \gdw d(p,q) = 0 \implies d^\ast(p,q) = \min(1,0) = 0[/mm]
Sei nun [mm] $d^\ast(p,q) [/mm] = 0$. Das bedeutet, dass
[mm] 0= \min(1,d(p,q)) \implies d(p,q) = 0 \gdw p=q[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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