Metrik, gleiche offenen Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Do 12.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum. Wir definieren [mm] \delta [/mm] (x,y) $ = $ [mm] min\{d(x,y),1\}. [/mm]
Zeigen Sie, [mm] \delta [/mm] ist eine Metrik und dass [mm] \delta [/mm] die gleiche offene Menge induziert wie d. |
Hallo,
Dass es sich bei [mm] \delta [/mm] um eine Metrik handelt hab ich nachgerechnet und bin mir auch sicher - deshalb poste ich den Teil der Aufgabe nicht.
Sei O eine offene Menge bezüglich [mm] \delta, [/mm] d.h. [mm] \exists \epsilon>0: B_{\epsilon}^{\delta} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] O.
Sei y [mm] \in B_{\epsilon}^d [/mm] (x) ,d h. [mm] d(x,y)<\epsilon
[/mm]
[mm] \delta(x,y)=min(d(x,y),1)\le [/mm] d(x,y) < [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] y [mm] \in B_{\epsilon}^{\delta} [/mm] (x)
[mm] \Rightarrow B_{\epsilon}^d (x)\subseteq B_{\epsilon}^{\delta} [/mm] (x)
D.h. [mm] B_{\epsilon}^d (x)\subseteq [/mm] O
Dementsprechend ist auch O offen bezüglich d.
Nun fehlt mir die Rückrichtung:
Sei O eine offene Menge bezüglich [mm] \delta, [/mm] d.h. [mm] \exists \epsilon>0: B_{\epsilon}^{d} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] O.
Sei y [mm] \in B_{\epsilon}^{\delta} [/mm] (x) , d.h. [mm] \delta(x,y) [/mm] < [mm] \epsilon.
[/mm]
Ist [mm] \epsilon<1 [/mm] so ist [mm] \delta(x,y)=d(x,y) [/mm] < [mm] \epsilon. \Rightarrow B_{\epsilon}^{\delta} (x)\subseteq B_{\epsilon}^{d} [/mm] (x)
Aber was mache ich wenn [mm] \epsilon \ge [/mm] 1 ist?
LG,
sissi
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Hallo sissile,
> Sei (M,d) ein metrischer Raum. Wir definieren [mm]\delta[/mm] (x,y)
> [mm]=[/mm] [mm]min\{d(x,y),1\}.[/mm]
> Zeigen Sie, [mm]\delta[/mm] ist eine Metrik und dass [mm]\delta[/mm] die
> gleiche offene Menge induziert wie d.
> Hallo,
> Dass es sich bei [mm]\delta[/mm] um eine Metrik handelt hab ich
> nachgerechnet und bin mir auch sicher - deshalb poste ich
> den Teil der Aufgabe nicht.
>
> Sei O eine offene Menge bezüglich [mm]\delta,[/mm] d.h. [mm]\exists \epsilon>0: B_{\epsilon}^{\delta}[/mm]
> (x) [mm]\subseteq[/mm] O.
> Sei y [mm]\in B_{\epsilon}^d[/mm] (x) ,d h. [mm]d(x,y)<\epsilon[/mm]
> [mm]\delta(x,y)=min(d(x,y),1)\le[/mm] d(x,y) < [mm]\epsilon \Rightarrow[/mm]
> y [mm]\in B_{\epsilon}^{\delta}[/mm] (x)
> [mm]\Rightarrow B_{\epsilon}^d (x)\subseteq B_{\epsilon}^{\delta}[/mm]
> (x)
> D.h. [mm]B_{\epsilon}^d (x)\subseteq[/mm] O
> Dementsprechend ist auch O offen bezüglich d.
Alles ok. Du solltest nur evtl. zu Beginn noch klar machen, dass $x [mm] \in [/mm] O$ beliebig sei.
> Nun fehlt mir die Rückrichtung:
> Sei O eine offene Menge bezüglich [mm]\delta,[/mm] d.h. [mm]\exists \epsilon>0: B_{\epsilon}^{d}[/mm]
> (x) [mm]\subseteq[/mm] O.
> Sei y [mm]\in B_{\epsilon}^{\delta}[/mm] (x) , d.h. [mm]\delta(x,y)[/mm] <
> [mm]\epsilon.[/mm]
> Ist [mm]\epsilon<1[/mm] so ist [mm]\delta(x,y)=d(x,y)[/mm] < [mm]\epsilon. \Rightarrow B_{\epsilon}^{\delta} (x)\subseteq B_{\epsilon}^{d}[/mm]
> (x)
> Aber was mache ich wenn [mm]\epsilon \ge[/mm] 1 ist?
Wenn du zu Beginn ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 1$ bekommst mit [mm] $B_{\varepsilon}^{d}(x) \subset [/mm] O$, dann kannst du ja einfach ein kleineres [mm] $\varepsilon' [/mm] < 1$ nehmen und es gilt immer noch
[mm] $B_{\varepsilon'}^{d}(x) \subset B_{\varepsilon}^{d}(x) \subset [/mm] O$.
Die Rechnung führst du dann mit [mm] $\varepsilon'$ [/mm] statt mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] durch.
Damit hast du dann immer noch gezeigt, dass es einen Ball um $x$ bzgl. der Metrik [mm] $\delta$ [/mm] gibt, der ganz in $O$ liegt.
Quintessenz: Du solltest zu Beginn deines Beweises schreiben: "OBdA. sei [mm] $\varepsilon [/mm] < 1$, denn für jedes kleinere [mm] $\varepsilon' [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt [mm] $B_{\varepsilon'}^{d}(x) \subset B_{\varepsilon}^{d}(x) \subset [/mm] O$."
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 Fr 13.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!
Liebe Grüße,
sissi
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