Metrik induziert Topologie ?!? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei X eine Menge mit den Elementen a, b, c, d, e
[m]O_{1}=\{ \emptyset, \{a\},\{a, c\},\{a, d\},\{a,c,d\},\{a,b,c,d,e\}\}[/m]
[m]O_{2}=P(x)[/m]
P(X) ist die Potenzmenge und [mm] O_i [/mm] sind Topologien
Und jetzt ist die Frage welche der Topologien durch eine Metrik auf X induziert ist? Ich denke mal, dass es [mm] O_2 [/mm] ist. Ich weiß nicht wie das induziert zu verstehen ist und wie ich auf Mengen einen Abstand definieren soll wofür ich dann die Metrikaxiome nachweisen kann darum geht es doch oder? Mehr kann ich als Lösungsansatz leider nicht bringen habe mich grade durch ziemlich viele Skripte durchgearbeitet komme aber nicht auf den Zusammenhang.
Vielen Dank
shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Philipp!
Die Topologie [mm] $O_1$ [/mm] ist nicht durch eine Metrik induziert.
Das kann man daran erkennen, dass sich die beiden Punkte $b$ und $c$ nicht durch offene Mengen voneinander trennen lassen. Sprich: Es gibt keine offenen Mengen [mm] $U_1 \in O_1$ [/mm] mit $b [mm] \in U_1$ [/mm] sowie [mm] $U_2 \in O_1$ [/mm] mit $c [mm] \in U_2$, [/mm] so dass [mm] $U_1 \cap U_2= \emptyset$.
[/mm]
Man sagt dazu, die Topologie [mm] $O_1$ [/mm] ist nicht Hausdorffsch.
Eine Topologie, die von einer Metrik induziert wird (wo also die offenen Mengen genau dadurch charakterisiert sind, dass es um jeden Punkt einen [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] bezüglich einer festen Metrik $d$ gibt, der ganz in der Menge enthalten ist), ist aber immer Hausdorffsch, d.h. zwei verschiedene Punkte lassen sich durch offenen Mengen trennen.
Denn: Sind $x [mm] \ne [/mm] y$, so gilt: [mm] $d(x,y)=:\varepsilon>0$. [/mm] Dann leisten die beiden Bälle [mm] $B_d\left(x,\frac{\varepsilon}{2}\right)$ [/mm] und [mm] $B_d\left(y,\frac{\varepsilon}{2}\right)$ [/mm] das Gewünschte.
Die Topologie [mm] $O_2$, [/mm] bei der ja alle Teilmengen offen sind, ist dagegen metrisierbar, und zwar durch die recht triviale Metrik
$d(x,y) = [mm] \left\{ \begin{array}{ccc} 1 & , & \mbox{wenn} \quad x \ne y,\\[5pt] 0 & , & \mbox{wenn} \quad x=y. \end{array} \right.$
[/mm]
Es genügt zu zeigen, dass die einelementigen Mengen bezüglich der von dieser Metrik induzierten Topologie offen sind (denn dann sind alle Teilmengen als Vereinigung von offenen einelementigen Mengen offen).
Da ist aber wegen
[mm] $\{x\} [/mm] = [mm] \left\{y \in X\, :\, d(x,y) < \frac{1}{2}\right\} [/mm] = [mm] B_d\left(x,\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
völlig klar.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Shaguar |
Danke für die Antwort, wenn das doch nur so irgendwo mal stehen würde...
Mir ist jetzt endlich klar worums da geht.
Dankeschön
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