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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 13.08.2011 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Geben Sie für die Menge A = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x^{2}+y^{2} [/mm] = 2} [mm] \subset \IR^{2}
[/mm]
das Innere und den Rand an, und untersuchen Sie, ob A kompakt ist. |
Hallo,
Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen, bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt und ob ich das richtig verstanden habe.
Hier meine Ideen:
das Innere [mm] A^{o} [/mm] = {x|x [mm] \in \IR^{2} \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] K_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] A}:
Die Gleichung [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] = 2 wird erfüllt von (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1). Das ist als Bild gesehen der Einheitskreis in einem Koordinatensystem. Das Innere ist die leere Menge, da das Innere ja jene Punkte imfasst, deren Kugel auch in der Menge A liegt. Dies ist hier nicht der Fall, denn bei allen Punkten (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) liegt ein Teil der Kugel ausserhalb des Einheitskreises.
der Rand [mm] \partial [/mm] A = [mm] A^{-} [/mm] / [mm] A^{o} [/mm] (= der Abschluss ohne das Innere)
In diesem Fall also entspricht der Rand dem Abschluss, weil das Innere leere Menge ist. Der Abschluss ist definiert als
[mm] A^{-} [/mm] = {x | x [mm] \in \IR^{2} \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset}
[/mm]
In diesem Fall sind das die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), weil sie alle haben eine Kugel, welche teilweise in A liegt und somit gibt es immer eine nicht leere Schnittmenge der Mengen.
Behauptung: A ist nicht kompakt
Beweis: Wäre A kompakt, so müsste A abgeschlossen und beschränkt sein
A ist beschränkt, wenn es in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten sein kann. Dies ist hier der Fall.
A ist abgeschlossen, wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] K_{\varepsilon}(x) \cap [/mm] A = [mm] \emptyset
[/mm]
Das ist hier nicht der Fall, denn ein Punkt, der auf dem Einheitskreis liegt, jedoch nicht auf der X- oder Y-Achse widerspricht dieser Aussage.
A ist also beschränkt, aber nicht abgeschlossen
Somit ist A nicht kompakt.
Stimmt das so?
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüsse,
Natascha
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Natascha,
> Geben Sie für die Menge A = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+y^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 2} [mm]\subset \IR^{2}[/mm]
> das Innere und den Rand an, und
> untersuchen Sie, ob A kompakt ist.
> Hallo,
>
> Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen, bin mir aber
> nicht sicher, ob das so stimmt und ob ich das richtig
> verstanden habe.
> Hier meine Ideen:
>
> das Innere [mm]A^{o}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x|x [mm]\in \IR^{2} \exists \varepsilon[/mm] > 0
> [mm]K_{\varepsilon}(x) \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A}:
> Die Gleichung [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] = 2 wird erfüllt von (1,1),
> (1,-1), (-1,1), (-1,-1).
Und von unendlich vielen weitern Punkten in er Ebene ...
[mm]A[/mm] ist doch der Rand des Kreises (oder Kreislinie - wie auch immer) um [mm](x_M,y_M)=(0,0)[/mm] mit Radius [mm]r=\sqrt{2}[/mm]
> Das ist als Bild gesehen der
> Einheitskreis in einem Koordinatensystem.
Nein, der Einheitskreis hat doch Radius [mm]r=1[/mm]
> Das Innere ist
> die leere Menge, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") da das Innere ja jene Punkte imfasst,
> deren Kugel auch in der Menge A liegt. Dies ist hier nicht
> der Fall, denn bei allen Punkten (1,1), (1,-1), (-1,1),
> (-1,-1) liegt ein Teil der Kugel ausserhalb des
> Einheitskreises.
Das stimmt in der Aussage, aber in der Begründung nicht!
Es gibt in [mm]A[/mm] keine inneren Punkte, denn ...
>
> der Rand [mm]\partial[/mm] A = [mm]A^{-}[/mm] / [mm]A^{o}[/mm] (= der Abschluss ohne
> das Innere)
> In diesem Fall also entspricht der Rand dem Abschluss,
> weil das Innere leere Menge ist. Der Abschluss ist
> definiert als
> [mm]A^{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x | x [mm]\in \IR^{2} \forall \varepsilon[/mm] > 0
> [mm]K_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset}[/mm]
> In diesem Fall
> sind das die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), weil
> sie alle haben eine Kugel, welche teilweise in A liegt und
> somit gibt es immer eine nicht leere Schnittmenge der
> Mengen.
Das gilt für jeden Punkt in [mm]A[/mm], es ist [mm]A=A^-=\partial A[/mm]
[mm]A[/mm] besteht nur aus Randpunkten
>
> Behauptung: A ist nicht kompakt
> Beweis: Wäre A kompakt, so müsste A abgeschlossen und
> beschränkt sein
Das ist es aber!
> A ist beschränkt, wenn es in einer Kugel mit endlichem
> Radius enthalten sein kann.
Gib ganz konkret einen Kreis (Kugel im [mm]\IR^2)[/mm] an, die [mm]A[/mm] enthält
> Dies ist hier der Fall.
> A ist abgeschlossen, wenn [mm]\forall[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0: [mm]K_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm]
> Das ist hier nicht der Fall, denn ein Punkt, der auf dem
> Einheitskreis liegt, jedoch nicht auf der X- oder Y-Achse
> widerspricht dieser Aussage.
Ich verstehe nur Bahnhof.
[mm]A[/mm] enthält alle seine Randpunkte und ist damit abgeschlossen.
>
> A ist also beschränkt, aber nicht abgeschlossen
> Somit ist A nicht kompakt.
>
> Stimmt das so?
Nein, [mm]A[/mm] ist ein Paradebsp. einer kompakten Menge 
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Liebe Grüsse,
> Natascha
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Sa 13.08.2011 | | Autor: | natascha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hallo Natascha,
>
Danke für deine schnelle Antwort! Ich habe noch ein paar Rückfragen:
>
>
> > Geben Sie für die Menge A = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+y^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> > = 2} [mm]\subset \IR^{2}[/mm]
> > das Innere und den Rand an, und
> > untersuchen Sie, ob A kompakt ist.
> > Hallo,
> >
> > Ich habe versucht, diese Aufgabe zu lösen, bin mir aber
> > nicht sicher, ob das so stimmt und ob ich das richtig
> > verstanden habe.
> > Hier meine Ideen:
> >
> > das Innere [mm]A^{o}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = {x|x [mm]\in \IR^{2} \exists \varepsilon[/mm] > 0
> > [mm]K_{\varepsilon}(x) \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> A}:
> > Die Gleichung [mm]x^{2}+y^{2}[/mm] = 2 wird erfüllt von (1,1),
> > (1,-1), (-1,1), (-1,-1).
>
> Und von unendlich vielen weitern Punkten in er Ebene ...
>
> [mm]A[/mm] ist doch der Rand des Kreises (oder Kreislinie - wie auch
> immer) um [mm](x_M,y_M)=(0,0)[/mm] mit Radius [mm]r=\sqrt{2}[/mm]
>
> > Das ist als Bild gesehen der
> > Einheitskreis in einem Koordinatensystem.
>
> Nein, der Einheitskreis hat doch Radius [mm]r=1[/mm]
Ah ja stimmt, das hatte ich wohl falsch überlegt, der Kreis ist hier grösser.
>
> > Das Innere ist
> > die leere Menge, da das Innere ja jene Punkte imfasst,
> > deren Kugel auch in der Menge A liegt. Dies ist hier nicht
> > der Fall, denn bei allen Punkten (1,1), (1,-1), (-1,1),
> > (-1,-1) liegt ein Teil der Kugel ausserhalb des
> > Einheitskreises.
>
> Das stimmt in der Aussage, aber in der Begründung nicht!
>
> Es gibt in [mm]A[/mm] keine inneren Punkte, denn ...
Ein Punkt ist ein innerer Punkt, wenn sich eine Umgebung finden lässt, die vollkommen in der Menge A liegt. Dies ist hier nicht möglich, da es sich um Randpunkte handelt.
Stimmt das so oder muss man das anders begründen?
>
> >
> > der Rand [mm]\partial[/mm] A = [mm]A^{-}[/mm] / [mm]A^{o}[/mm] (= der Abschluss ohne
> > das Innere)
> > In diesem Fall also entspricht der Rand dem Abschluss,
> > weil das Innere leere Menge ist. Der Abschluss ist
> > definiert als
> > [mm]A^{-}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = {x | x [mm]\in \IR^{2} \forall \varepsilon[/mm] > 0
> > [mm]K_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset}[/mm]
> > In diesem
> Fall
> > sind das die Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1), weil
> > sie alle haben eine Kugel, welche teilweise in A liegt und
> > somit gibt es immer eine nicht leere Schnittmenge der
> > Mengen.
>
> Das gilt für jeden Punkt in [mm]A[/mm], es ist [mm]A=A^-=\partial A[/mm]
>
> [mm]A[/mm] besteht nur aus Randpunkten
>
> >
> > Behauptung: A ist nicht kompakt
> > Beweis: Wäre A kompakt, so müsste A abgeschlossen und
> > beschränkt sein
>
> Das ist es aber!
>
> > A ist beschränkt, wenn es in einer Kugel mit endlichem
> > Radius enthalten sein kann.
>
> Gib ganz konkret einen Kreis (Kugel im [mm]\IR^2)[/mm] an, die [mm]A[/mm]
> enthält
A ist im Kreis [mm] x^{2}+y^{2} [/mm] = 4 enthalten und somit ist die Menge A beschränkt.
Geht das so?
>
> > Dies ist hier der Fall.
> > A ist abgeschlossen, wenn [mm]\forall[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > > 0: [mm]K_{\varepsilon}(x) \cap[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm]
> > Das ist hier nicht der Fall, denn ein Punkt, der auf
> dem
> > Einheitskreis liegt, jedoch nicht auf der X- oder Y-Achse
> > widerspricht dieser Aussage.
>
> Ich verstehe nur Bahnhof.
>
> [mm]A[/mm] enthält alle seine Randpunkte und ist damit
> abgeschlossen.
Das habe ich immer noch nicht genau verstanden. Wenn das Innere ja leere Menge ist, hat man ja automatisch Rand von A = Abschluss von A. Ist dadurch bereits klar, dass die Menge abgeschlossen ist?
Also könnte man sagen: Inneres = leere Menge -> Menge abgeschlossen?
Oder habe ich das immer noch falsch verstanden?
>
> >
> > A ist also beschränkt, aber nicht abgeschlossen
> > Somit ist A nicht kompakt.
> >
> > Stimmt das so?
>
> Nein, [mm]A[/mm] ist ein Paradebsp. einer kompakten Menge
>
> >
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
> > Liebe Grüsse,
> > Natascha
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Sa 13.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nicht abgeschlossen wäre das Innere des Kreises also die Menge in [mm] \iR^2 x^3+y^2<2
[/mm]
abgeschlossen aber ist die Vereinigung dieser Menge mir ihren Rand, also die kreisscheibe [mm] x^2+y^2\le2
[/mm]
dass das Innere leer ist hat mit abgeschlossen nichts zu tun.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 So 14.08.2011 | | Autor: | natascha |
| Aufgabe | Es sei S = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{2}=22}
[/mm]
Begründen Sie, warum S kompakt ist. |
Guten Morgen,
ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu sehen, ob ich das nun verstanden habe.
Mein Vorgehen:
Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass S beschränkt und abgeschlossen ist.
i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum Beispiel [mm] S_{1} [/mm] = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44} [/mm] sein.
ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus Randpunkten. Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und ist somit abgeschlossen.
Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit Formeln', die ich anbringen müsste?
Vielen Dank im Voraus!
Liebe Grüsse,
Natascha
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 So 14.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> Guten Morgen,
>
> ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> sehen, ob ich das nun verstanden habe.
>
> Mein Vorgehen:
>
> Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> S beschränkt und abgeschlossen ist.
>
> i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
[mm] S_1 [/mm] ist keine Kugel !!
Ist (x,y) [mm] \in [/mm] S, so ist [mm] x^2 \le [/mm] 22 und [mm] y^2 \le [/mm] 11, also [mm] x^2+y^2 \le [/mm] 33
>
> ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> Randpunkten.
Beweis ?
> Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> ist somit abgeschlossen.
> Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> Formeln', die ich anbringen müsste?
Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Liebe Grüsse,
> Natascha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 So 14.08.2011 | | Autor: | natascha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > Guten Morgen,
> >
> > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> >
> > Mein Vorgehen:
> >
> > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> >
> > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
>
> [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
>
> Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
>
Danke für die Antwort!
Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur der Rand einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende, dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur < (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der Kugel?
> >
> > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > Randpunkten.
>
Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist [mm] \partial(S) [/mm] = [mm] S^{-} [/mm] / [mm] S^{o}, [/mm] also die Differenzmenge zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0), die auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
Somit gilt [mm] \partial(S) [/mm] = [mm] S^{-}
[/mm]
Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei denen für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel [mm] K_{\varepsilon}(x) [/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf dem Rand liegen.
Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
>
>
> Beweis ?
>
> > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > ist somit abgeschlossen.
> > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > Formeln', die ich anbringen müsste?
>
> Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das 'irgendwie wissen'?
Vielen Dank!
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
> > Liebe Grüsse,
> > Natascha
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
zunächst einmal ist das auch nicht der rand einer kugel, sondern das bild ist eine ellipse.
Eine Folge könntest du dir implizit so bauen, dass du sagst, sei [mm] y_n^2 \in [/mm] [0,11]. Darauf erhälst du auch einen implizit gegebenes [mm] x_n [/mm] denn die Gleichung muss erfüllt bleiben. Sage die Folge [mm] y_n [/mm] ist konvergent und stelle fest, dass der implizit gegebene x-Wert konvergiert und passt. damit ist das Paar [mm] (x_n, y_n) [/mm] in der Menge und fertig
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> zunächst einmal ist das auch nicht der rand einer kugel,
> sondern das bild ist eine ellipse.
Bild ??? Nein, es ist der Rand einer Ellipse.
>
> Eine Folge könntest du dir implizit so bauen, dass du
> sagst, sei [mm]y_n^2 \in[/mm] [0,11]. Darauf erhälst du auch einen
> implizit gegebenes [mm]x_n[/mm] denn die Gleichung muss erfüllt
> bleiben. Sage die Folge [mm]y_n[/mm] ist konvergent und stelle fest,
> dass der implizit gegebene x-Wert konvergiert und passt.
> damit ist das Paar [mm](x_n, y_n)[/mm] in der Menge und fertig
???? Ehrlich: wem soll damit geholfen sein ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Mo 15.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
da eine ellipse die menge aller tupel (x,y) ist, sodass die summe der abstände zu den beiden brennpunkte konstant ist, ist die menge bereits die komplette ellipse (nach dieser geometrischen definition gehört das innere also nicht zu der ellipse). ich gebe zu, dass der begriff bild hier falsch ist. der rest ist schlicht eine möglichkeit eine beliebige cauchyfolge zu konstruieren. mit dieser konstruktion lässt sich durchaus die abgeschlossenheit zeigen.
gruß bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mo 15.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > > Guten Morgen,
> > >
> > > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> > >
> > > Mein Vorgehen:
> > >
> > > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> > >
> > > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
> >
> > [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
> >
> > Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> > [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
> >
>
> Danke für die Antwort!
> Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur der Rand
> einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende,
> dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur <
> (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der
> Kugel?
> > >
> > > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > > Randpunkten.
> >
> Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist
> [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm] / [mm]S^{o},[/mm] also die Differenzmenge
> zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das
> Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn
> es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0), die
> auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
> Somit gilt [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm]
> Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei denen für
> alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel
> [mm]K_{\varepsilon}(x)[/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge
> ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf
> dem Rand liegen.
> Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
>
> >
> >
> > Beweis ?
> >
> > > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > > ist somit abgeschlossen.
> > > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > > Formeln', die ich anbringen müsste?
> >
> > Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> > und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
>
> Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt
> es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das
> 'irgendwie wissen'?
Du sollst keine Folge finden !
Es gilt für eine Teilmenge A eines metr. Raumes:
A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Grenzwert jeder konvergenten Folge aus A gehört zu A.
Zu Deiner Menge S: Zeige: der Grenzwert jeder konvergenten Folge aus S gehört zu S.
FRED
> Vielen Dank!
>
> >
> > FRED
> > >
> > > Vielen Dank im Voraus!
> > >
> > > Liebe Grüsse,
> > > Natascha
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mo 15.08.2011 | | Autor: | natascha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> >
> > > > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > > > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > > > Guten Morgen,
> > > >
> > > > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > > > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> > > >
> > > > Mein Vorgehen:
> > > >
> > > > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > > > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> > > >
> > > > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > > > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > > > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
> > >
> > > [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
> > >
> > > Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> > > [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
> > >
> >
> > Danke für die Antwort!
> > Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur der Rand
> > einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende,
> > dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur <
> > (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der
> > Kugel?
> > > >
> > > > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > > > Randpunkten.
> > >
> > Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist
> > [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm] / [mm]S^{o},[/mm] also die Differenzmenge
> > zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das
> > Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn
> > es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0), die
> > auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
> > Somit gilt [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm]
> > Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei denen für
> > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel
> > [mm]K_{\varepsilon}(x)[/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge
> > ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf
> > dem Rand liegen.
> > Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
> >
> > >
> > >
> > > Beweis ?
> > >
> > > > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > > > ist somit abgeschlossen.
> > > > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > > > Formeln', die ich anbringen müsste?
> > >
> > > Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> > > und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
> >
> > Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt
> > es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das
> > 'irgendwie wissen'?
>
>
> Du sollst keine Folge finden !
>
> Es gilt für eine Teilmenge A eines metr. Raumes:
>
> A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] der Grenzwert jeder konvergenten
> Folge aus A gehört zu A.
>
>
> Zu Deiner Menge S: Zeige: der Grenzwert jeder konvergenten
> Folge aus S gehört zu S.
>
> FRED
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort. Kannst du mir etwas auf die Sprünge helfen mit dem Beweis? Ich weiss da gar nicht wo anfangen. Wie beweise ich, dass das für jede konvergente Folge gilt? Also ich meine, wie finde ich alle konvergenten Folgen in S?
Danke!
Liebe Grüsse,
Natascha
> > Vielen Dank!
> >
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > Vielen Dank im Voraus!
> > > >
> > > > Liebe Grüsse,
> > > > Natascha
> > >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Di 16.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
du machst das, indem du die folgen allgemein hälst. du nimmst eine folge [mm] z_n [/mm] := [mm] (x_n, y_n) [/mm] aus deiner menge S und sagst, dass [mm] z_n [/mm] eine cauchyfolge sei. du kannst, wenn dir das hilft auch [mm] y_n [/mm] durch [mm] x_n [/mm] beschreiben, wenn dir das hilft (hier müsstest du nur auf die vorzeichen achten, da sich der jeweils andere wert immer aus der gleichung [mm] x^2 +2y^2 [/mm] = 22 ergibt). überlege, was hier für den grenzwert gelten muss. erfüllt dieser immer diese gleichung? wenn ja, dann liegt auch der grenzwert in der menge und deine allgemein gehaltene cauchyfolge konvergiert in S
Gruß Bernhard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 16.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > >
> > > > > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > > > > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > > > > Guten Morgen,
> > > > >
> > > > > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > > > > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> > > > >
> > > > > Mein Vorgehen:
> > > > >
> > > > > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > > > > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> > > > >
> > > > > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > > > > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > > > > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
> > > >
> > > > [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
> > > >
> > > > Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> > > > [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
> > > >
> > >
> > > Danke für die Antwort!
> > > Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur der
> Rand
> > > einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende,
> > > dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur <
> > > (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der
> > > Kugel?
> > > > >
> > > > > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > > > > Randpunkten.
> > > >
> > > Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist
> > > [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm] / [mm]S^{o},[/mm] also die Differenzmenge
> > > zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das
> > > Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn
> > > es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0), die
> > > auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
> > > Somit gilt [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm]
> > > Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei denen
> für
> > > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel
> > > [mm]K_{\varepsilon}(x)[/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge
> > > ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf
> > > dem Rand liegen.
> > > Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Beweis ?
> > > >
> > > > > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > > > > ist somit abgeschlossen.
> > > > > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > > > > Formeln', die ich anbringen müsste?
> > > >
> > > > Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> > > > und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
> > >
> > > Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt
> > > es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das
> > > 'irgendwie wissen'?
> >
> >
> > Du sollst keine Folge finden !
> >
> > Es gilt für eine Teilmenge A eines metr. Raumes:
> >
> > A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] der Grenzwert jeder konvergenten
> > Folge aus A gehört zu A.
> >
> >
> > Zu Deiner Menge S: Zeige: der Grenzwert jeder konvergenten
> > Folge aus S gehört zu S.
> >
> > FRED
>
> Hallo Fred,
> Danke für deine Antwort. Kannst du mir etwas auf die
> Sprünge helfen mit dem Beweis? Ich weiss da gar nicht wo
> anfangen. Wie beweise ich, dass das für jede konvergente
> Folge gilt? Also ich meine, wie finde ich alle konvergenten
> Folgen in S?
Sei [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge in S und [mm] (x_0,y_0) [/mm] ihr Grenzwert. Dann gilt:
1. [mm] x_n \to x_0 [/mm] und [mm] y_n \to y_0
[/mm]
und
2. [mm] x_n^2+2y_n^2=22 [/mm] füe jedes n.
So, nun zeigst Du mal, dass $ [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] S $ gilt.
FRED
> Danke!
> Liebe Grüsse,
> Natascha
> > > Vielen Dank!
> > >
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > Vielen Dank im Voraus!
> > > > >
> > > > > Liebe Grüsse,
> > > > > Natascha
> > > >
> >
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Di 16.08.2011 | | Autor: | natascha |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > >
> > > > > > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > > > > > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > > > > > Guten Morgen,
> > > > > >
> > > > > > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > > > > > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> > > > > >
> > > > > > Mein Vorgehen:
> > > > > >
> > > > > > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > > > > > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> > > > > >
> > > > > > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > > > > > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > > > > > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > > >
> > > > > = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
> > > > >
> > > > > [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
> > > > >
> > > > > Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> > > > > [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
> > > > >
> > > >
> > > > Danke für die Antwort!
> > > > Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur der
> > Rand
> > > > einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende,
> > > > dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur <
> > > > (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der
> > > > Kugel?
> > > > > >
> > > > > > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > > > > > Randpunkten.
> > > > >
> > > > Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist
> > > > [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm] / [mm]S^{o},[/mm] also die Differenzmenge
> > > > zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das
> > > > Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn
> > > > es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0), die
> > > > auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
> > > > Somit gilt [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm]
> > > > Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei denen
> > für
> > > > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel
> > > > [mm]K_{\varepsilon}(x)[/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge
> > > > ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf
> > > > dem Rand liegen.
> > > > Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Beweis ?
> > > > >
> > > > > > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > > > > > ist somit abgeschlossen.
> > > > > > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > > > > > Formeln', die ich anbringen müsste?
> > > > >
> > > > > Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> > > > > und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
> > > >
> > > > Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt
> > > > es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das
> > > > 'irgendwie wissen'?
> > >
> > >
> > > Du sollst keine Folge finden !
> > >
> > > Es gilt für eine Teilmenge A eines metr. Raumes:
> > >
> > > A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] der Grenzwert jeder konvergenten
> > > Folge aus A gehört zu A.
> > >
> > >
> > > Zu Deiner Menge S: Zeige: der Grenzwert jeder konvergenten
> > > Folge aus S gehört zu S.
> > >
> > > FRED
> >
> > Hallo Fred,
> > Danke für deine Antwort. Kannst du mir etwas auf die
> > Sprünge helfen mit dem Beweis? Ich weiss da gar nicht wo
> > anfangen. Wie beweise ich, dass das für jede konvergente
> > Folge gilt? Also ich meine, wie finde ich alle konvergenten
> > Folgen in S?
>
> Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine konvergente Folge in S und [mm](x_0,y_0)[/mm]
> ihr Grenzwert. Dann gilt:
>
> 1. [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n \to y_0[/mm]
>
> und
>
> 2. [mm]x_n^2+2y_n^2=22[/mm] füe jedes n.
>
> So, nun zeigst Du mal, dass [mm](x_0,y_0) \in S[/mm] gilt.
>
> FRED
Hi Fred,
Vielen Dank für deine Geduld.
Ich muss also zeigen, dass [mm] (x_0,y_0) [/mm] in S ist. Dies ist der Fall, wenn für alle n gilt: [mm] x_n^{2} [/mm] + [mm] 2y_n^{2} [/mm] = 22. Das gilt genau dann, wenn [mm] x_n [/mm] = [mm] \sqrt{2y_n^{2}-22}
[/mm]
Man muss also für jedes [mm] x_n [/mm] ein solches [mm] y_n [/mm] finden können...
und dann?
Vielen Dank!
Natascha
> > Danke!
> > Liebe Grüsse,
> > Natascha
> > > > Vielen Dank!
> > > >
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > > Vielen Dank im Voraus!
> > > > > >
> > > > > > Liebe Grüsse,
> > > > > > Natascha
> > > > >
> > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 16.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
mach das mit nem Widerspruchsbeweis. Sei [mm] (x_0, y_0) [/mm] der Grenzwert. Angenommen: [mm] (x_0, y_0) \not\in [/mm] S
Was gilt denn dann für deine Folge [mm] (x_n,y_n)? [/mm] (Stichwort Epsilonumgebung von [mm] (x_0,y_0))
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> mach das mit nem Widerspruchsbeweis.
Mein Gott ! Wozu denn das ?
FRED
> Sei [mm](x_0, y_0)[/mm] der
> Grenzwert. Angenommen: [mm](x_0, y_0) \not\in[/mm] S
> Was gilt denn dann für deine Folge [mm](x_n,y_n)?[/mm] (Stichwort
> Epsilonumgebung von [mm](x_0,y_0))[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Do 18.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
weil es eine möglichkeit ist, das zu zeigen. kannst du auch was anderes als andere lösungen schlecht reden? viele wege führen nach rom und nur weil jemand einen anderen ansatz vorschlägt als du, heißt das noch lange nicht, dass der falsch ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Do 18.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> weil es eine möglichkeit ist, das zu zeigen. kannst du
> auch was anderes als andere lösungen schlecht reden? viele
> wege führen nach rom und nur weil jemand einen anderen
> ansatz vorschlägt als du, heißt das noch lange nicht,
> dass der falsch ist.
Niemand hat gesagt, dass Dein Ansatz falsch ist. Aber:
Wir nehmen uns eine konvergente Folge $ [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] $ aus S her und nennen $ [mm] (x_0,y_0) [/mm] $ deren Limes.
Dann gilt:
(1) $ [mm] x_n^{2} [/mm] $ + $ [mm] 2y_n^{2} [/mm] $ = 22 für alle n
und
(2) $ [mm] x_n \to x_0, y_n \to y_0. [/mm] $
Nun müssen wir zeigen: $ [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] $ S.
Aus (1) und (2) folgt sofort ratz - fatz und so umgehend wie geschwind:
$ [mm] x_0^{2} [/mm] $ + $ [mm] 2y_0^{2} [/mm] $ = 22
Fertig!
Natürlich kann ich auch annehmen: $ [mm] (x_0,y_0) \notin [/mm] S$.
? Und wie lange brauche ich dann bis alles bewiesen ist ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:12 Do 18.08.2011 | | Autor: | Stoecki |
zugegeben etwas länger, da ne passende metrik gebaut werden müsste.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Do 18.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> zugegeben etwas länger
.... etwas ? ....
> , da ne passende metrik gebaut
> werden müsste.
Was muß gebaut werden ? ?? Bei solchen Aufgaben liegt immer die euklidische Norm zugrunde, oder eine andere Norm auf dem [mm] \IR^2. [/mm] Aber welche ist völlig wurst, denn auf dem [mm] \IR^2 [/mm] sind je 2 Normen zueinander äquivalent.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 17.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> > > > > auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> > > > > gefunden (siehe rote Markierung)
> > > > >
> > > > >
> > > > > > > Es sei S = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}[/mm] + [mm]2y^{2}=22}[/mm]
> > > > > > > Begründen Sie, warum S kompakt ist.
> > > > > > > Guten Morgen,
> > > > > > >
> > > > > > > ich versuche mich noch einmal in so einer Aufgabe, um zu
> > > > > > > sehen, ob ich das nun verstanden habe.
> > > > > > >
> > > > > > > Mein Vorgehen:
> > > > > > >
> > > > > > > Um zu zeigen, dass S kompakt ist, muss gezeigt werden, dass
> > > > > > > S beschränkt und abgeschlossen ist.
> > > > > > >
> > > > > > > i) S ist beschränkt, weil es eine Kugel mit endlichem
> > > > > > > Radius gibt, die vollständig enthält. Dies kann zum
> > > > > > > Beispiel [mm]S_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > >
> > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > > >
> > > > > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > > > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > > > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > > > >
> > > > > > = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}: x^{2}+2y^{2}=44}[/mm] sein.
> > > > > >
> > > > > > [mm]S_1[/mm] ist keine Kugel !!
> > > > > >
> > > > > > Ist (x,y) [mm]\in[/mm] S, so ist [mm]x^2 \le[/mm] 22 und [mm]y^2 \le[/mm] 11, also
> > > > > > [mm]x^2+y^2 \le[/mm] 33
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Danke für die Antwort!
> > > > > Also S1 war keine Kugel, weil es wiederum nur
> der
> > > Rand
> > > > > einer Kugel war. Hingegen wenn ich statt = das <= verwende,
> > > > > dann ist es die ganze Kugel, richtig? Und wenn ich nur <
> > > > > (ohne =) schreiben würde, wäre es dann das Innere der
> > > > > Kugel?
> > > > > > >
> > > > > > > ii) S ist abgeschlossen, denn S besteht nur aus
> > > > > > > Randpunkten.
> > > > > >
> > > > > Randpunkte sind Punkte, welche im Rand liegen. Der Rand ist
> > > > > [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm] / [mm]S^{o},[/mm] also die Differenzmenge
> > > > > zwischen Abschluss und Inneren. In diesem Fall ist das
> > > > > Innere die leere Menge, denn ein Punkt ist im Inneren, wenn
> > > > > es für ihn eine Umgebung gibt (mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0), die
> > > > > auch in A liegt. Dies ist hier nicht der Fall.
> > > > > Somit gilt [mm]\partial(S)[/mm] = [mm]S^{-}[/mm]
> > > > > Der Abschluss von S sind jene Punkte x, bei
> denen
> > > für
> > > > > alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 der Durchschnitt der Kugel
> > > > > [mm]K_{\varepsilon}(x)[/mm] mit der Menge S nicht die leere Menge
> > > > > ist. Dies ist für alle Punkte von S der Fall, da diese auf
> > > > > dem Rand liegen.
> > > > > Ist das ok so oder muss man da noch mehr schreiben?
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Beweis ?
> > > > > >
> > > > > > > Deshalb enthält S alle seine Randpunkte und
> > > > > > > ist somit abgeschlossen.
> > > > > > > Stimmt das so oder gibt es da noch eine 'Begründung mit
> > > > > > > Formeln', die ich anbringen müsste?
> > > > > >
> > > > > > Machs doch direkt: nimm eine konvergente Folge aus S her
> > > > > > und zeige, dass ihr Limes wieder zu S gehört.
> > > > >
> > > > > Wie finde ich denn eine solche konvergente Folge in S? Gibt
> > > > > es da eine bestimmte Vorgehensweise, oder muss man das
> > > > > 'irgendwie wissen'?
> > > >
> > > >
> > > > Du sollst keine Folge finden !
> > > >
> > > > Es gilt für eine Teilmenge A eines metr. Raumes:
> > > >
> > > > A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] der Grenzwert jeder konvergenten
> > > > Folge aus A gehört zu A.
> > > >
> > > >
> > > > Zu Deiner Menge S: Zeige: der Grenzwert jeder konvergenten
> > > > Folge aus S gehört zu S.
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > Hallo Fred,
> > > Danke für deine Antwort. Kannst du mir etwas auf
> die
> > > Sprünge helfen mit dem Beweis? Ich weiss da gar nicht wo
> > > anfangen. Wie beweise ich, dass das für jede konvergente
> > > Folge gilt? Also ich meine, wie finde ich alle konvergenten
> > > Folgen in S?
> >
> > Sei [mm]((x_n,y_n))[/mm] eine konvergente Folge in S und [mm](x_0,y_0)[/mm]
> > ihr Grenzwert. Dann gilt:
> >
> > 1. [mm]x_n \to x_0[/mm] und [mm]y_n \to y_0[/mm]
> >
> > und
> >
> > 2. [mm]x_n^2+2y_n^2=22[/mm] füe jedes n.
> >
> > So, nun zeigst Du mal, dass [mm](x_0,y_0) \in S[/mm] gilt.
> >
> > FRED
> Hi Fred,
> Vielen Dank für deine Geduld.
> Ich muss also zeigen, dass [mm](x_0,y_0)[/mm] in S ist. Dies ist
> der Fall, wenn für alle n gilt: [mm]x_n^{2}[/mm] + [mm]2y_n^{2}[/mm] = 22.
Ja, aber warum ???
> Das gilt genau dann, wenn [mm]x_n[/mm] = [mm]\sqrt{2y_n^{2}-22}[/mm]
nein. Sondern: [mm]x_n[/mm] = [mm] \pm \sqrt{2y_n^{2}-22}[/mm]. Aber das brauchen wir nicht !!
> Man muss also für jedes [mm]x_n[/mm] ein solches [mm]y_n[/mm] finden
> können...
Zum Donnerwetter, nichts ist zu finden , wie oft denn noch ???. Die Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] ist doch vorgegeben !!!
> und dann?
Wir haben: [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine konvergente Folge aus S, [mm] (x_0,y_0) [/mm] ist deren Limes.
Es gilt:
(1) $ [mm] x_n^{2} [/mm] $ + $ [mm] 2y_n^{2} [/mm] $ = 22 für alle n
und
(2) [mm] x_n \to x_0, y_n \to y_0.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt dann: $ [mm] x_0^{2} [/mm] $ + $ [mm] 2y_0^{2} [/mm] $ = 22
Somit ist [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] S.
FRED
> Vielen Dank!
> Natascha
>
> > > Danke!
> > > Liebe Grüsse,
> > > Natascha
> > > > > Vielen Dank!
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > FRED
> > > > > > >
> > > > > > > Vielen Dank im Voraus!
> > > > > > >
> > > > > > > Liebe Grüsse,
> > > > > > > Natascha
> > > > > >
> > > >
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