Minimaler Umfang < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Fr 07.05.2010 | | Autor: | kawu |
| Aufgabe | | Unter allen Rechtecken mit den Seitenlängen a und b ist bei gegebenem Flächeninhalt A dasjenige mit minimalem Unfang U zu bestimmen. |
Hallo :)
Wie kann man diese Aufgabe lösen? der Umfang ist doch 2(a+b) und die Fläche ist ab. Also ist der Umfang [mm] $2\left(\frac{A}{a}+ \frac{A}{b}\right)$ [/mm] von dem festen Flächeninhalt abhängig. Wie kann dieser also minimal werden?
lg KaWu
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> Unter allen Rechtecken mit den Seitenlängen a und b ist
> bei gegebenem Flächeninhalt A dasjenige mit minimalem
> Unfang U zu bestimmen.
> Hallo :)
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> Wie kann man diese Aufgabe lösen? der Umfang ist doch
U=
> 2(a+b) und die Fläche ist
A=
>ab. Also ist der Umfang
> [mm]2\left(\frac{A}{a}+ \frac{A}{b}\right)[/mm] von dem festen
> Flächeninhalt abhängig. Wie kann dieser also minimal
> werden?
Hallo,
wenn A=ab, dann ist [mm] b=\bruch{A}{a}. [/mm]
Das ist die Nebenbedingung, welche uns Fesseln anlegt: wir können a,b nicht frei wählen, sondern müssen es so tun, daß stets [mm] b=\bruch{A}{a} [/mm] ist.
Wir sollen den minimalen Umfang unter der Vorgabe, daß der Flächeninhalt A vorgegeben ist, finden.
Damit hängt nun der Umfang U des Rechteckes mit der vorgegebenen Fläche A nur noch von a ab:
[mm] U=2a+\bruch{2A}{a}. [/mm] (A ist ja eine fest vorgegebene Größe).
Überlegen mußt Du nun, für welches a der Umfang U minimal wird.
Auch der minimale Umfang wird natürlich irgendwie von A abhängen.
Vielleicht wird die Aufgabe für Dich etwas klarer, wenn Du sie zunächst etwas konkretisierst:
Wie muß man die Seiten a und b wählen, damit der Umfang eine 36FE großen Rechtecks minimal ist?
Zur Vorgehensweise: ich weiß nicht, was Du kannst.
Ich würde jetzt eine ganz normale Extremwertberechnung machen - auf die Schnelle fällt mir nicht ein, wie es mit Mittelstufenmitteln geht.
Gruß v. Angela
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> lg KaWu
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