Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Bestimme das minimalpolynom von i in [mm] \IQ(\wurzel[3]{2})[x]?
[/mm]
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Also ich würde mal sagen, dass Minimalpoylom ist x²+1, aber wie beweise ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Di 18.04.2006 | | Autor: | andreas |
> Bestimme das minimalpolynom von i in
> [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})[x]?[/mm]
>
> Also ich würde mal sagen, dass Minimalpoylom ist x²+1, aber
> wie beweise ich das?
das minimalpolynom ist tatsächlich [mm] $X^2 [/mm] + 1$, da dies ein normiertes polymon mit nulstelle $i$ ist. wäre dies nicht das minimalpolynom, so wäre das minimalpolynom ein teiler dieses polynoms, hier also ein polynom ersten grades. dann wäre aber $i [mm] \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, [/mm] dies ist aber nicht möglich, da [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$ [/mm] und $i [mm] \not\in \mathbb{R}$.
[/mm]
grüße
andreas
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