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| Aufgabe | | Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, F End(V) ein diagonalisierbarer Endomorphismus und a1,...,ar K die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F. Bestimmen sie das Minimalpolynom von F. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir einer sagen was ich da machen muss? Ich muss diese (und noch eine) Aufgabe bis donnerstag lösen und dann mündlich Vortragen sonst werde ich nicht zur Klausur zugelassen und mein Problem ist das ich im moment im völligen überstreß stehe und einfach nicht mehr weiter weis. Ich wäre sehr sehr sehr dankbar wenn mir einer helfen könnte (auch wenn meine Frage ohne eigenen Ansatz eigentlich gegen die Forenregeln verstößt).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Pizzamann.
Das Minimalpolynom ist das kleinste Polynom, das $f$ als Nullstelle besitzt. Da nach Cayley-Hamilton $f$ Nullstelle von [mm] $\chi_f$ [/mm] ist, muss ferner [mm] $\mu_f$ [/mm] ein Teiler von [mm] $\chi_f$ [/mm] sein.
Weiterhin ist bekannt, dass die Eigenwerte von $f$ genau die Nullstellen von [mm] $\chi_f$ [/mm] sind. Zuletzt musst du noch wissen, dass für einen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] stets kleiner gleich der Vielfachheit der Nullstelle von [mm] $\lambda$ [/mm] in [mm] $\chi_f$ [/mm] ist. Da $f$ diagonalisierbar ist, muss die Dimension der Eigenräume der Dimension von $V$ entsprechen. Daraus kannst du bereits einen "großen" Teiler von [mm] $\chi_f$ [/mm] bestimmen und über Gradvergleich sogar das Polynom [mm] $\chi_f$ [/mm] bestimmen.
Nun solltest du weiter wissen, dass jede Nullstelle von [mm] $\chi_f$ [/mm] auch Nullstelle von [mm] $\mu_f$ [/mm] ist. Als Minimalpolynom brauchst du also nur solche zu testen, die alle Linearfaktoren von [mm] $\chi_f$ [/mm] als Teiler besitzen. Prüfe in deinem Fall nun das einfachste aller solcher Polynome auf die Frage, ob es $f$ als Nullstelle besitzt.
Es ist hier praktisch, wenn du anstatt $f$ mit einer Darstellungsmatrix von $f$ rechnest.
Liebe Grüße,
Hanno
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