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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Minimalpolynom
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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Sa 26.04.2008
Autor: reginalex

Aufgabe
Berechne das Minimalpolynom über [mm] \IR [/mm] von
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 } [/mm]

Hallo

Ich habe bereits [mm] P_{A}=\lambda^{4}+\lambda^{2}+1 [/mm] als charakteristisches Polynom berechnet.
Wenn das richtig ist, weiß ich allerdings nicht, was das Minimalpolynom ist, da [mm] P_{A} [/mm] gar keine Nullstelle hat.
Ist dann [mm] m_{A}=P_{A}? [/mm]

Vielen Dank schonmal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Sa 26.04.2008
Autor: NochNichtSoSchlau

Hallo reginalex,

guck dir dein charakteristisches Polynom bzw. den Rechenweg dorthin noch mal genauer an. Du hast da einen kleinen Fehler gemacht - wahrscheinlich nur ein Flüchtigkeitsfehler (es geht um den Koeffizienten zu λ^2...)
Wenn du den Fehler gefunden hast, siehst du auch, dass das ch. Polynom Nullstellen hat.

Liebe Grüße

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Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Sa 26.04.2008
Autor: NochNichtSoSchlau

Oh nein!

Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ich mich bzgl. der Nullstellen total vertan habe... bei deinem Polynom ist zwar trotzdem ein Fehler - aber Nullstellen hat es dann doch nicht - zumindest nicht in [mm] \IR [/mm] ...

Ich habe ein Minimalpolynom bestimmt - allerdings weiß ich jetzt auch nicht so wirklich, ob das dann richtig ist, wenn es keine NST in [mm] \IR [/mm] hat.

Tut mir leid - da war ich etwas voreilig...

Bezug
                
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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 So 27.04.2008
Autor: reginalex

Oh, hast recht, ich hab mich mit dem charakteristischen Polynom vertippt. Hatte [mm] P_{A}=\lambda^{4}+2\lambda^{2}+1 [/mm] raus...hilft mir aber auch nicht so recht weiter, oder?

Was ist denn dann das Minimalpolynom?

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Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 So 27.04.2008
Autor: margitbrunner

Das Minimalpolynom ist ein Vielfaches vom charakteristischen Polynom.
Die Nullstellen des Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix.
Das Minimalpolynom hängt sehr stark mit dem charakteristischen Polynom zusammen. (Das wäre jetzt zu viel die ganzen Zusammenhänge aufzuzählen) Es gibt auch einen Algorithmus wie du das Minimalpolynom berechnen kannst.


Bezug
                                
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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 So 27.04.2008
Autor: Feli2812

Hallöchen,
Ist nicht das char.Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms?
und da dieses keine NS hat, würd ich sagen, dass das char.P. gleich dem Minimalpolynom, oder????
lg

Bezug
                                        
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Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 So 27.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Feli2812,

> Hallöchen,
>  Ist nicht das char.Polynom ein Vielfaches des
> Minimalpolynoms?

Doch schon.

>  und da dieses keine NS hat, würd ich sagen, dass das
> char.P. gleich dem Minimalpolynom, oder????

Das ist nicht so einfach.

Zerlege das charakteristische Polynom [mm]p\left(x\right)[/mm] in irreduzible (nicht weiter zerlegbare) Polynome über [mm]\IR[/mm].

Bestimme dann das kleinste Polynom, für das [mm]p\left(A\right)=0[/mm] gilt. (0 ist die Nullmatrix).

>  lg

Gruß
MathePower

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Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mo 28.04.2008
Autor: reginalex

Ist denn [mm] P_{A}= (\lambda^{2}+1)*(\lambda^{2}+1) [/mm] das dazu gehörende irreduzible Polynom?
Wenn ja, dann folgt daraus, dass [mm] M_{A}=P_{A}, [/mm] da [mm] A^{2}+1\not=0 [/mm]

Ich hoffe das stimmt so...auf jeden Fall vielen Danke für die Tipps!

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Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Mo 28.04.2008
Autor: MathePower

Hallo reginalex,

> Ist denn [mm]P_{A}= (\lambda^{2}+1)*(\lambda^{2}+1)[/mm] das dazu
> gehörende irreduzible Polynom?

[mm]\lambda^{2}+1[/mm] hat in [mm]\IR[/mm] keine Nullstellen, ist also irreduzibel.

[mm]P\left(\lambda\right)[/mm] ist das Produkt von zwei irreduziblen Polynomen.

> Wenn ja, dann folgt daraus, dass [mm]M_{A}=P_{A},[/mm] da
> [mm]A^{2}+1\not=0[/mm]

Jo, in dem Fall ist das so.

[mm]A^{2}+I \not= 0[/mm]

[mm]\left(A^{2}+I\right)^{2} = 0[/mm]

>  
> Ich hoffe das stimmt so...auf jeden Fall vielen Danke für
> die Tipps!

Gruß
MathePower

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Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:30 Mo 28.04.2008
Autor: reginalex

Super! Danke!

Gruß reginalex

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