Minimalpolynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für das Minimalpolynom einer n x n Matrix der Form [mm] K:=\pmat{ A & 0 \\ 0 & B } [/mm] gilt: [mm] p_K=kgV(p_A, p_B) [/mm] |
Hallo,
leider fehlt mir die Idee wie ich an die Aufgabe herangehen kann.
ich habs mal über die Eigenwerte versucht:
Sei [mm] M_K\{\lambda_1,...\lambda_k\} [/mm] mit k [mm] \le [/mm] n, die Menge der Eigenverte von K
somit hat hat das char. Polynom von K die Form [mm] p_K(x)=(x-\lambda_1)*...*\lambda_k
[/mm]
Sei [mm] M_A=\{mu_1,...,\mu_a\} [/mm] bzw. [mm] M_B=\{\nu_1,...,\nu_b\} [/mm] mit a,b [mm] \le [/mm] k die Menge der Eigenwerte von A bzw. B
ich müsste ja jetzt zeigen das [mm] M_A, M_B \subset M_K [/mm] gilt, nur hab ich keine Idee welcher Satz das ausdrückt. Könnt ihr mir weiterhelfen? Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
gruß tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Fr 26.04.2013 | | Autor: | valoo |
> Beweisen Sie, dass für das Minimalpolynom einer n x n
> Matrix der Form [mm]K:=\pmat{ A & 0 \\ 0 & B }[/mm] gilt:
> [mm]p_K=kgV(p_A, p_B)[/mm]
> Hallo,
>
> leider fehlt mir die Idee wie ich an die Aufgabe herangehen
> kann.
>
> ich habs mal über die Eigenwerte versucht:
>
> Sei [mm]M_K\{\lambda_1,...\lambda_k\}[/mm] mit k [mm]\le[/mm] n, die Menge
> der Eigenverte von K
>
> somit hat hat das char. Polynom von K die Form
> [mm]p_K(x)=(x-\lambda_1)*...*\lambda_k[/mm]
>
so sieht das aber nicht aus...
> Sei [mm]M_A=\{mu_1,...,\mu_a\}[/mm] bzw. [mm]M_B=\{\nu_1,...,\nu_b\}[/mm]
> mit a,b [mm]\le[/mm] k die Menge der Eigenwerte von A bzw. B
>
> ich müsste ja jetzt zeigen das [mm]M_A, M_B \subset M_K[/mm] gilt,
> nur hab ich keine Idee welcher Satz das ausdrückt. Könnt
> ihr mir weiterhelfen? Oder bin ich komplett auf dem
> Holzweg?
>
> gruß tom
Rechne einfach mal das charakteristische Polynom aus. Dann bemerkst du auch, dass die Eigenwerte gerade die von A und B sind. Das Minimalpolynom ist ja ein Teiler des charakterischen Polynoms und zwar derart, dass K noch "Nullstelle" davon ist. A und B müssen beide verschwinden, da eine Potenz von K wieder eine Blockmatrix ist aus den Potenzen von A und B, also ist es das kleinste gemeinsame Vielfache beider Minimalpolynome.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank für deine Hilfe,
ich komme leider nicht mehr ganz mit
wie kann ich denn das char. Polynom ausrechnen, alles was ich weiß ist doch die Form [mm] p_K(x)=(x-\lambda_1)*...*(x-\lambda_n) [/mm] bzw. [mm] p_K(x)=det(K-\lambda*E) [/mm] ? oder kann ich mit der Struktur der Matrix noch etwas anfangen?
gruß tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Fr 26.04.2013 | | Autor: | valoo |
> Vielen Dank für deine Hilfe,
>
> ich komme leider nicht mehr ganz mit
> wie kann ich denn das char. Polynom ausrechnen, alles was
> ich weiß ist doch die Form
> [mm]p_K(x)=(x-\lambda_1)*...*(x-\lambda_n)[/mm] bzw.
> [mm]p_K(x)=det(K-\lambda*E)[/mm] ? oder kann ich mit der Struktur
> der Matrix noch etwas anfangen?
erstmal sind die Rollen von K und $ [mm] \lambda \cdot [/mm] E $ vertauscht, man will ja nen normiertes Polynom, aber das tut nichts zur Sache...
Was weißt du denn über die Berechnung der Determinante einer Blockmatrix? Und sowas kommt da ja gerade wieder bei raus...
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> gruß tom
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:43 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Rated-R |
Vielen Dank!
Ich glaube ich habe den Ausdruck Blockmatrix noch nie in der Vorlesung gehört.
Bei der Spur einer Martrix kann man ja einfach sagen Spur(K)=Spur(A)+Spur(B)
Bei der determinante gilt demnach det(K)=det(A)*det(B)? Dann wäre
[mm] K-\lambda*E [/mm] = [mm] \pmat{ A-\lambda*E & 0 \\ 0 & B-\lambda*E }
[/mm]
[mm] det(K-\lambda*E)=det(\pmat{ A-\lambda*E & 0 \\ 0 & B-\lambda*E }=det(A-\lambda*E [/mm] & [mm] 0)*det(B-\lambda*E )\Rightarrow p_K(\lambda)=p_A(\lambda)*p_B(\lambda)
[/mm]
Jetzt weiß ich noch da [mm] m_A [/mm] bzw. [mm] m_B p_K [/mm] teilt. Ich steh noch auf dem Schlauch wie ich das konkrete minimalpolynom aus [mm] p_A [/mm] und [mm] p_B [/mm] allgemein bekomme. Wenn ich jetzt Zahlen hätte müsste ich ja ersteinmal alle möglichen Minimalpolynome nachrechnen?
gruß Tom
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 29.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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