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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 19.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
| Aufgabe | | Hieraus [aus Minimumprinzip] folgt ein weiterer einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei P ein Polynom vom Grad größer gleich 1. Wegen [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty}|P(z)|= \infty [/mm] besitzt |P(z)| ein Minimum, nach dem Minimumprinzip also eine Nullstelle. |
HI!
Ich verstehe nicht, warum das Polynom ein Betragsminimum hat, nur weil das Polynom im Betrag unbeschränkt ist. Hat bestimmt irgendwas mit dem Konvergenzverhalten des Polynoms zu tun, oder?
Hoffe, mir kann da jemand helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 19.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hieraus [aus Minimumprinzip] folgt ein weiterer einfacher
> Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei P ein Polynom
> vom Grad größer gleich 1. Wegen
> [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty}|P(z)|= \infty[/mm] besitzt |P(z)|
> ein Minimum, nach dem Minimumprinzip also eine Nullstelle.
Das ist sehr schlampig (und nicht ganz korrekt) formiliert !
Ich würde es so machen:
Annahme, P ist auf [mm] \IC [/mm] nullstellenfrei.
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] K_n [/mm] = { z [mm] \in \IC: [/mm] |z| [mm] \le [/mm] n }. Da [mm] K_n [/mm] kompakt ist, hat |P| auf [mm] K_n [/mm] ein Minimum.
Das Minimumprinzip besagt nun:
min{ |P(z)|: z [mm] \in K_n [/mm] } = min{ |P(z)|: z [mm] \in \partial K_n [/mm] }.
Fazit: zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein [mm] z_n [/mm] mit:
[mm] |z_n| [/mm] = n und [mm] |P(z_n)| \le [/mm] |P(z)| für jedes z [mm] \in K_n.
[/mm]
Wegen [mm] K_n \subset K_{n+1}, [/mm] ist [mm] z_n \in K_{n+1},
[/mm]
folglich
[mm] |P(z_{n+1})| \le |P(z_n)|.
[/mm]
Damit ist die Folge [mm] (|P(z_n)|) [/mm] eine fallende Folge und somit beschränkt.
Wegen $ [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty}|P(z)|= \infty [/mm] $ und [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}|z_n| [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ergibt sich der Widerspruch
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}|P(z_n)| [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
FRED
> HI!
> Ich verstehe nicht, warum das Polynom ein Betragsminimum
> hat, nur weil das Polynom im Betrag unbeschränkt ist. Hat
> bestimmt irgendwas mit dem Konvergenzverhalten des Polynoms
> zu tun, oder?
>
> Hoffe, mir kann da jemand helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Do 19.03.2009 | | Autor: | didi1985 |
ich danke dir - nunn hab ichs verstanden
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