Mittelpunkt=arithmet. Mittel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Do 26.05.2005 | | Autor: | zlata |
Hallo!
Normalerweise ist doch der Mittelpunkt einer Strcke gleich dem arithmetischen Mittel der beiden Endpunkte, z.B. X(3/-2/4), Y(4/-2,5/1)
--> M(3,5/-2,25/1,25)
Ich habe nun verucht, dies allgemein zu beweisen, doch bin irgendwo hängen geblieben:
Es gilt: [mm] \overrightarrow{XM}=0,5* \overrightarrow{OY}- \overrightarrow{OX}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{XM}=05*(X+Y)
[/mm]
0,5*( [mm] \overrightarrow{OY}- \overrightarrow{OX})=05*(X+Y)
[/mm]
Vereinfacht: 0,5(X-Y) = 0,5*(X+Y)
--> Doch irgendwie stimmt das ja nich. Bitte helft mir!
Danke Zlata
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Zlata!
> Normalerweise ist doch der Mittelpunkt einer Strcke gleich
> dem arithmetischen Mittel der beiden Endpunkte
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> , z.B.
> X(3/-2/4), Y(4/-2,5/1)
> --> M(3,5/-2,25/1,25)
Naja, bis auf die Tatsache, dass du dich in der dritten Komponente verrechnet hast. Sie muss 2,5 lauten (Danke an Loddar für den Hinweis!  ).
> Ich habe nun verucht, dies allgemein zu beweisen, doch bin
> irgendwo hängen geblieben:
>
> Es gilt:
(*) [mm]\overrightarrow{XM}=0,5* \overrightarrow{OY}- \overrightarrow{OX}[/mm]
> [mm]\overrightarrow{XM}=0,5*(X+Y)[/mm]
Du meinst, dass das zu zeigen ist? Nein, denn [mm] $\overrightarrow{XM}$ [/mm] ist ja nicht der Ortsvektor von $M$ ! Stattdessen musst du zeigen:
[mm]\overrightarrow{OM}=0,5*(\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY})[/mm].
Und das folgt jetzt so
[mm] $\overrightarrow{OM}$
[/mm]
$= [mm] \overrightarrow{OX} [/mm] + [mm] \overrightarrow{XM}$
[/mm]
[mm] $=\overrightarrow{OX} [/mm] + 0,5* [mm] \overrightarrow{OY}- \overrightarrow{OX}$ [/mm] (nach (*))
$= 0,5 * [mm] (\overrightarrow{OX} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OY})$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Viele Grüße
Stefan
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