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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Nicksve |
Hallo, ich bin gerade in der klausurvorbereitung ... ich bin durch meine vorlesungsmitschriften auf dem stand, dass, wenn f:[a,b]- R gegeben ist und nur auf dem offenen Intervall von a,b differenzierbar ist, dann können lokale extrema nur an den stellen x im inneren des intervalls auftreten, wenn die ableitung von f an diesen stellen 0 ist. Mir ist also bewusst, dass wenn ein extremum in dem intervall vorliegt, muss die ableitung an der stelle x 0 sein, die umkehrung gilt aber nicht - also nicht von der ableitung =0 auf eine extremstelle an dieser stelle schließen ... unser prof schrieb daraufhin ... der MWS ist der schlüssel, mit dem man von der ableitung auf f schließen kann ... könnte mir evtl. jm die interpretation des mws/ satz von rolle geben, sowie die anwendung? was sagt er aus? wenn dieser satz gilt, liegt dann ein extremum vor? danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Nicksve |
... danke, nur leider bleibt meine grundfrage immernoch offen ... wenn ich keine schlüsse ziehen kann, nur weil die ableitung an der stelle x 0 ist, also ob extremum oder nicht voliegt, hilft mir denn da jetzt der mws oder rolle? also sagt der aus, wenn ich an x eine ableitung = o finde, unter der bedingung f(a) = f(b) ,sowie stetigkeit diffbarkeit etc. dann liegt bei x ein extremum? oder ist mws/ rolle nur eine andere möglichkeit wie die ableitung einer funktion bilden und diese gleich null setzen, um eventuelle extremstellen zu erhalten, die dann aber noch weiter auf existenz überprüft werden müssen?
gruß
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Hallo nochmal !!!
Also, wenn ich weiss, dass [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] ist, dann könnte es ein Extrema/Minima sein, oder aber eine Wendestelle.
Würdest du nun [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] finden, so dass [mm] $x_1
[mm] $f(x_1)=f(x_2)$, [/mm] dann könnte man daraus schliessen, dass $f$ and der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] ein Extrema besitzt.
Nun könnte aber $f$ eine Konstante Funktion sein. Sprich $f(x)=c, [mm] c\in\IR$.
[/mm]
Dann wären obige Eigenschaften auch erfüllt, $f$ besitzt aber kein Extrema.
Gruß Mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Nicksve |
danke, in bezug auf den satz von rolle ist es mir jetzt verständlich ... ich weiß also, dass die ableitung an der stelle x gleich null ist, sind zusätzlich die bedingungen des satzes von rolle erfüllt, so liegt bei x ein extremum vor ... danke
... und wie ist dann der mws zu verstehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 14.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
der MWS ist wirklich der einzige Satz, mit dem man aus f' auf eigenschaften von f schliessen kann.
Schon etwa f'(x)=0 in (a,b) folgt f=const kannst du wohl kaum ohne MWS beweisen.
der MWS sagt auch aus, wenn f' einen Vorzeichenwechsel bei [mm] x=x_0 [/mm] hat (dazu ist notwendig [mm] f"(x_0)=0) [/mm] dann hat f an der stelle [mm] x_0 [/mm] einen Extremwert.
Alle abschaetzungen - Restglieder) fuer die Taylorpolynome gehen auf den MWS zurueck. Er ist also wirklich der wichtigste Satz um von f' auf Eigenschaften von f zu schliessen.
(er wird allerdings oft so formuliert (auch in wiki) als ob man aus eigenschaften der fkt (Sehne) auf Eigenschaften von f' schliessen wuerde. das geht natuerlich auch, ist aber nicht die hauptanwendung des MWS.
ich hoff ich hab ihn dir was lieber gemacht.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 14.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Auch ein Prof kann mal irren, oder Du hast ihn falsch verstanden
Mit dem MWS hat das nichts zu tun !
Sei [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) und f habe in [mm] x_o [/mm] ein lokales Max. (für Min. gehts genauso)
Nun betrachte den Differenzenquotienten
D(x) : = [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Für x> [mm] x_0 [/mm] ist D(x) [mm] \ge [/mm] 0 und für [mm] x
Also ist [mm] f'x_0) [/mm] = 0
FRED
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http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung