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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 09.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
| Aufgabe | | Das nördliche Ufer eines Sees kann durch die Funktion f(x) = 2x * [mm] e^{-0.5x}, 0\lex\le6, [/mm] beschrieben werden, während sein südliches Ufer durch die lineare Funktion g (x) = ax+b, [mm] 0\lex\le6, [/mm] erfasst wird. Alle Längen sind in Kilometern angegeben. Rechnungen sollen auf zwei Nachkommastellen genau sein. |
a) Die beiden Randkurven sollen sich an den Stellen x=0 und x=6 treffen. Bestimmen Sie die Parameter a und b! (Hier weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen kann!)
b) Die Funktion f hat einen Hochpunkt H und einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von H und W!
(Den Hochpunkt berechne ich doch, wenn ich die 1. Ableitung 0 setze, oder? Aber wie gehe ich dann weiter vor um an die Koordinate heranzukommen? Und berechne ich den Wendepunkt mit der 2. Ableitung?)
d) Zeigen Sie, dass F(x) = (-4x-8)* [mm] e^{-0.5x} [/mm] eine Stammfunktion von f ist.
(Hier muss ich einfach F(x) ableiten, oder?!)
e) Wie groß ist die Oberfläche des Sees? (Mit welcher Formel kann ich die berechnen?)
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> Das nördliche Ufer eines Sees kann durch die Funktion f(x)
> = 2x * [mm]e^{-0.5x}, 0\le x \le6,[/mm] beschrieben werden, während
> sein südliches Ufer durch die lineare Funktion g (x) =
> ax+b, [mm]0\lex\le6,[/mm] erfasst wird. Alle Längen sind in
> Kilometern angegeben. Rechnungen sollen auf zwei
> Nachkommastellen genau sein.
> a) Die beiden Randkurven sollen sich an den Stellen x=0
> und x=6 treffen. Bestimmen Sie die Parameter a und b! (Hier
> weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen kann!)
Nun, wenn die Randkurven die gegebenen Funktionen sein sollen, dann hast du eine konkrete Funktion f(x) und eine Funktion mit Parametern g(x). Und du weißt die Punkte, an denen beide übereinstimmen sollen, also 0 und 6. Das heißt, du setzt 0 und 6 in f(x) ein und hast zwei Punkte. Damit solltest du g(x) bestimmen können (und damit a und b), oder? :)
> b) Die Funktion f hat einen Hochpunkt H und einen
> Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von H und W!
> (Den Hochpunkt berechne ich doch, wenn ich die 1.
> Ableitung 0 setze, oder? Aber wie gehe ich dann weiter vor
> um an die Koordinate heranzukommen? Und berechne ich den
> Wendepunkt mit der 2. Ableitung?)
Das kannst du doch hier im vorwissen wunderbar nachlesen! Aber es stimmt, die erste Ableitung sagt dir die Steigung der Funktion und an einem Hochpunkt (oder TP) ist diese ja 0, daher muss die erste Ableitung 0 gesetzt werden. Mit der zweiten Ableitung würdest du überprüfen, ob es sich um einem TP oder HP handelt. Wendepunkte findest du, indem du die zweite Ableitung 0 setzt, richtig.
fehlt hier nicht die c? ^^
> d) Zeigen Sie, dass F(x) = (-4x-8)* [mm]e^{-0.5x}[/mm] eine
> Stammfunktion von f ist.
> (Hier muss ich einfach F(x) ableiten, oder?!)
richtig, da eine Stammfunktion das Integral der Ableitungsfunktion ist, gilt folglich (F(x))'=f(x)
> e) Wie groß ist die Oberfläche des Sees? (Mit welcher
> Formel kann ich die berechnen?)
Nun, wenn die beiden Funktionen die Ufer darstellen, dann denk dir das ganze mal auf einer Karte. Du hast die obere Kurve als oberes Ufer und die untere als unteres Ufer. Dazwischen liegt der See. Auf eine 2D-Karte übertragen heißt dass, du brauchst eindach die Fläche zwischen den beiden Kurven. Also das Integral von |f(x)-g(x)|
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Mo 09.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Dankeschön, ich werds mal versuchen. Kann aber gut sein, dass da nochmal Probleme auftreten....dann meld ich mich nochmal zu Worte :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Di 10.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Ich bin grad bei b)! Ich habe die 1. ableitung 0 gesetzt und komme dann auf [mm] 2x*e^{-0.5x}*0.5=0
[/mm]
Wie komme ich dann jetzt auf die Koordinaten des HP? Ich muss doch erstmal nach x umstellen, aber irgendwie ist das ein bisschen kompliziert... Ich kann ja die 0 nicht durch irgendwas teilen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 10.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Hat sich erledigt, bin schon selber drauf gekommen!
Ist dann das richtige Ergebnis H (0/0.5) ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 10.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Hmmm.... irgendwie stimmt das auch nicht. Kann mir mal jemand helfen, wie ich jetzt an die KOORDINATEN herankomme!!? Ich hab ja die 1. ableitung 0 gesetzt und dann nach x umgestellt. x wäre bei mir 0 und das hab ich dann in die ausgangsgleichung eingesetzt und da kommt nach meiner rechnung -0.5 raus. also wäre H (0/-0.5) sieht aber irgendwie komisch aus, ich kann mir nicht vorstellen dass das stimmt!!
Kann mir bitte bitte jemand helfen, ich komm sonst nicht weiter :-/
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> Hmmm.... irgendwie stimmt das auch nicht. Kann mir mal
> jemand helfen, wie ich jetzt an die KOORDINATEN
> herankomme!!? Ich hab ja die 1. ableitung 0 gesetzt und
> dann nach x umgestellt. x wäre bei mir 0 und das hab ich
> dann in die ausgangsgleichung eingesetzt und da kommt nach
> meiner rechnung -0.5 raus.
Das stimmt aber auch nicht. Es ist f(0)=0.
> also wäre H (0/-0.5) sieht aber
> irgendwie komisch aus, ich kann mir nicht vorstellen dass
> das stimmt!!
> Kann mir bitte bitte jemand helfen, ich komm sonst nicht
> weiter :-/
wie gesagt, zuerst die Ableitung richtig stellen
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> Hat sich erledigt, bin schon selber drauf gekommen!
> Ist dann das richtige Ergebnis H (0/0.5) ?
Das ist falsch.
Ich glaube, deine erste Ableitung ist falsch.
Für die brauchst du die  Produktregel !
LG
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Wie bereits gesagt wurde, brauchst du die Produktregel für diese Ableitung, also erst 2x ableiten und mal [mm] e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] und dann [mm] e^{-\bruch{1}{2}x} [/mm] ableiten (Kettenregel!) und mal 2x.
Demnach müsstest du auf eine Ableitung der Form: $ [mm] 2*e^{-\bruch{1}{2}x}+2x*e^{-\bruch{1}{2}x}*(-\bruch{1}{2})=e^{-\bruch{1}{2}x}*(2-x) [/mm] $ kommen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 10.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Okay, stimmt. Ich hatte die Kettenregel angewand. Mein x ist dann jetzt 2! Und wenn ich das in die Ausgangsgleichung einsetze kommt da [mm] 4e^{-1} [/mm] raus!! das stimmt ja irgendwie wieder nicht...
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> Okay, stimmt. Ich hatte die Kettenregel angewand. Mein x
> ist dann jetzt 2! Und wenn ich das in die Ausgangsgleichung
> einsetze kommt da [mm]4e^{-1}[/mm] raus!! das stimmt ja irgendwie
> wieder nicht...
Die 2 stimmt auf jeden Fall. Mit der zweiten Ableitung solltest du noch überprüfen, ob es wirklich ein Hochpunkt ist, was ich mal hoffen will. Demnach musst du nur noch f(2) berechnen:
$ f(2) = 2*2 * [mm] e^{-0.5*2}=4*e^{-1} [/mm] $
Sieht für mich also richtig aus. Und warum sollte das kein Hochpunkt sein? Was spricht denn dagegen? :) Das Ergebnis ist korrekt
Die gerundeten Koordinaten wären HP (2/1,472)
Wenn ich gleich dabei bin, die Koordinaten für den Wendepunkt lauten gerundet (4/1,083)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 10.02.2009 | | Autor: | CarLiin |
Dankeschön, ihr habt mir alle sehr geholfen :)
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