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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:45 Do 21.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei $M [mm] :=\; _{\IZ}$ [/mm] der [mm] $\IZ$-Modul [/mm] mit den Relationen
[mm] 2m_1+4m_2=0,\quad 4m_1+2m_3+2m_4=0,\quad m_2-m_3-m_4=0. [/mm]
Bestimme einen freien [mm] $\IZ$-Modul [/mm] F und einen [mm] $\IZ$-Torsionsmodul [/mm] T, so dass [mm] $M\cong [/mm] F [mm] \oplus [/mm] T$ gilt. |
Hallo,
ich weiss nicht so recht wie man hier verfahren muss/soll, da ich sowas noch nie an einem Beispiel durchgerechnet habe und wir auch keinen Algorithmus dazu behandelt haben. Aber ich starte einfach mal:
Die drei Gleichungen umgeformt und eingesetzt ergeben [mm] m_1=m_2=0 [/mm] und [mm] m_3=-m_4. [/mm] Hm ok, bringt mich nicht weiter.
In eine Matrix eingetragen, ergeben die Koeffizienten die Matrix [mm] M=\pmat{ 2 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 }$\sim [/mm] > [mm] \; [/mm] $ [mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] mit Gauss über [mm] \IZ. [/mm] Aber was sagt sie mir und warum? Und wie erhalte ich daraus meine Moduln?
Hat jemand Tipps wie man das machen könnte?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Fr 22.06.2012 | | Autor: | davux |
Was sind denn die Bedingungen, die für F und T gelten müssen, wenn F ein freier Modul und T ein Torsionsmodul sein soll?
Für einen freien Modul F musst du die Existenz eines linear unabhängigen Erzeugendensystems (d.h. Basis) sicherstellen.
Für einen Torsionsmodul müsstest du die Menge aller Torsionselemente bestimmen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 23.06.2012 | | Autor: | triad |
> Was sind denn die Bedingungen, die für F und T gelten
> müssen, wenn F ein freier Modul und T ein Torsionsmodul
> sein soll?
>
> Für einen freien Modul F musst du die Existenz eines
> linear unabhängigen Erzeugendensystems (d.h. Basis)
> sicherstellen.
> Für einen Torsionsmodul müsstest du die Menge aller
> Torsionselemente bestimmen.
Ja, aber wie mache ich das hier mit der Matrix/den Relationen? Ich könnte den Kern der Matrix bestimmen, dabei setze ich $M=0$ und bekomme [mm] $m_1=m_2=m_3=0,$ $m_4=\lambda$. [/mm] Das heißt der freie Anteil ist vom Rang 1 und der Torsionsteil vom Rang 3?
Bekomme ich nicht aus den Relationen schon Torsionselemente, z.B. [mm] m_1+2m_2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 So 24.06.2012 | | Autor: | davux |
Hallo nochmal,
ich möchte es doch noch wagen zu antworten, habe darüber gestern noch einmal nachgedacht und habe ein paar Schlüsse gezogen.
Kennst du die Rechnung die chesn gepostet hat, der hier wiederum dieselbe Aufgabe gepostet hat, wie du? Diese Lösung kursiert seit letzter Woche unter unseren Kommolitonen. Dort werden gültige Umformungen gemacht, aber auch bei der Version, die mir vorliegt, wurden letztlich die falschen Schlüsse gezogen, gerade weil eben die Definition von Torsionselementen nicht klar zu sein scheint.
Also erstmal dazu noch einmal. Torsionselemente sind doch Elemente aus M, dem [mm] $\IZ$-Modul, [/mm] die bei Multiplikation mit einem Ringelement ungleich Null zum Ergebnis Null haben. Mit anderen Worten, sie werden nicht nur durch Null annulliert. Nochmal etwas formaler, es existiert ein [mm] $r\in [/mm] R$ mit [mm] $r\not=0$, [/mm] so dass [mm] $r\cdot [/mm] m=0$ für ein [mm] $m\in [/mm] M$. Es kann gut sein, dass ich dabei jetzt auch schon falsch liege.
Aber ich meine, du kannst mit Umformungen der Gleichungen eben zum einen Elemente des Erzeugendensystems für M, welches gegeben ist als Torsionselemente outen, oder auch die Torsionselemente mit Hilfe der Gleichungen angeben. Dabei kann gut sein, dass deine Idee dem schon sehr nahekommt. Die Basis des freien Modul müsste dann aus den Elementen bestehen, die du bei der Berechnung der Torsionselemente bzw. dem Anzeigen welche es sind, unberücksichtigt blieben.
Sollte an der Antwort etwas nicht in Ordnung sein, darf sie gern als fehlerhaft oder Mitteilung umdeklariert werden. Als weitere Frage wollte ich es nicht direkt angeben, weil ich keine weiteren Rechnungen vorzuweisen habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 So 24.06.2012 | | Autor: | triad |
> Hallo nochmal,
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> ich möchte es doch noch wagen zu antworten, habe darüber
> gestern noch einmal nachgedacht und habe ein paar Schlüsse
> gezogen.
> Kennst du die Rechnung die chesn gepostet hat, der hier
> wiederum dieselbe Aufgabe gepostet hat, wie du?
Ja, aber nicht warum er sie nochmal gepostet hat.
> Diese
> Lösung kursiert seit letzter Woche unter unseren
> Kommolitonen.
Wie geht das, wenn sie erst vor 2 Tagen gepostet wurde?
> Dort werden gültige Umformungen gemacht,
> aber auch bei der Version, die mir vorliegt, wurden
> letztlich die falschen Schlüsse gezogen, gerade weil eben
> die Definition von Torsionselementen nicht klar zu sein
> scheint.
??? Welche Version liegt dir denn vor? Die Definition eines Torsionselementes ist mir klar (siehe unten), aber nicht die Schritte dieser komischen Rechnung. Ich habe sie deswegen nicht weiter betrachtet und nach anderen Wegen gesucht wie man die Aufgabe lösen könnte.
> Also erstmal dazu noch einmal. Torsionselemente sind doch
> Elemente aus M, dem [mm]\IZ[/mm]-Modul, die bei Multiplikation mit
> einem Ringelement ungleich Null zum Ergebnis Null haben.
> Mit anderen Worten, sie werden nicht nur durch Null
> annulliert. Nochmal etwas formaler, es existiert ein [mm]r\in R[/mm]
> mit [mm]r\not=0[/mm], so dass [mm]r\cdot m=0[/mm] für ein [mm]m\in M[/mm]. Es kann
> gut sein, dass ich dabei jetzt auch schon falsch liege.
Nein, exakt so haben wir es definiert.
> Aber ich meine, du kannst mit Umformungen der Gleichungen
> eben zum einen Elemente des Erzeugendensystems für M,
> welches gegeben ist als Torsionselemente outen, oder auch
> die Torsionselemente mit Hilfe der Gleichungen angeben.
> Dabei kann gut sein, dass deine Idee dem schon sehr
> nahekommt. Die Basis des freien Modul müsste dann aus den
> Elementen bestehen, die du bei der Berechnung der
> Torsionselemente bzw. dem Anzeigen welche es sind,
> unberücksichtigt blieben.
Damit wären wir wieder bei meinem eigentlichen Problem, dass ich nicht weiss, wie man hierbei verfährt. Man könnte irgendwelche Sachen rechnen, Vermutungen aufstellen wie ich es oben schon gepostet habe, aber sich nie sicher sein, ob das dann auch endgültig stimmt.
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> Sollte an der Antwort etwas nicht in Ordnung sein, darf sie
> gern als fehlerhaft oder Mitteilung umdeklariert werden.
> Als weitere Frage wollte ich es nicht direkt angeben, weil
> ich keine weiteren Rechnungen vorzuweisen habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 24.06.2012 | | Autor: | davux |
Also ich habe von jemanden seine Abgabe vom letzten Jahr bekommen. Die ist mit exakt derselben Rechnung wie bei chesn, nur angepasst auf [mm] $m_1,...,m_4$. [/mm] Ich habe die Schritte der Rechnung nachvollziehen können, machen auch Sinn, nur hat derjenige dann im Endeffekt gesagt,
[mm] $\underbrace{\cong\IZ/\langle 6\rangle\oplus\IZ/\langle 2\rangle}_{"Torsionsmodul"}\oplus\underbrace{\IZ}_{"freier Modul"}$.
[/mm]
Damit hatte ich die ganze Zeit zu knabbern. Der Korrekteur hat da ein "f" drangemacht und etwas erläutert. Ich denke, dass die Rechnung dazudient, die Torsionselemente herauszustellen, d.h. das Torsionsmodul angeben zu können, und dass dabei der freie Anteil auch durch hinsehen erkannt werden kann. In den Erläuterungen vom Korrekteur wurde darauf hingewiesen, dass für den Fall, dass [mm] $m_1=...=m_4=0$ [/mm] gelten würde [mm] $M=\{0\}\not=Krempel [/mm] von oben$. Die Frage war eben auch, was denn eigentlich [mm] $\tilde{\tilde{m_2}}$, [/mm] analog in der Rechnung von chesn wäre das, glaube ich, $b''$, ist, die er aufgeworfen hat. Ich meine, es handelt sich dabei um ein Torsionselement, als Kombination aus den Erzeugern von M.
#Edit: Es gab 1 von 3 Punkte auf die Rechnung. Eine Musterlösung habe ich auch nicht, aber morgen bin ich vielleicht schon etwas schlauer, nur habe ich dann selten noch die Zeit hier etwas zu schreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 So 24.06.2012 | | Autor: | triad |
> Also ich habe von jemanden seine Abgabe vom letzten Jahr
> bekommen. Die ist mit exakt derselben Rechnung wie bei
> chesn, nur angepasst auf [mm]m_1,...,m_4[/mm]. Ich habe die Schritte
> der Rechnung nachvollziehen können, machen auch Sinn, nur
> hat derjenige dann im Endeffekt gesagt,
> [mm]\underbrace{\cong\IZ/\langle 6\rangle\oplus\IZ/\langle 2\rangle}_{"Torsionsmodul"}\oplus\underbrace{\IZ}_{"freier Modul"}[/mm].
>
> Damit hatte ich die ganze Zeit zu knabbern. Der Korrekteur
> hat da ein "f" drangemacht und etwas erläutert. Ich denke,
> dass die Rechnung dazudient, die Torsionselemente
> herauszustellen, d.h. das Torsionsmodul angeben zu können,
> und dass dabei der freie Anteil auch durch hinsehen erkannt
> werden kann. In den Erläuterungen vom Korrekteur wurde
> darauf hingewiesen, dass für den Fall, dass [mm]m_1=...=m_4=0[/mm]
> gelten würde [mm]M=\{0\}\not=Krempel von oben[/mm]. Die Frage war
> eben auch, was denn eigentlich [mm]\tilde{\tilde{m_2}}[/mm], analog
> in der Rechnung von chesn wäre das, glaube ich, [mm]b''[/mm], ist,
> die er aufgeworfen hat. Ich meine, es handelt sich dabei um
> ein Torsionselement, als Kombination aus den Erzeugern von
> M.
>
> #Edit: Es gab 1 von 3 Punkte auf die Rechnung. Eine
> Musterlösung habe ich auch nicht, aber morgen bin ich
> vielleicht schon etwas schlauer, nur habe ich dann selten
> noch die Zeit hier etwas zu schreiben.
Nagut, danke für deine Antwort und Zeit. Dann wird es wohl darauf hinauslaufen das in den Übungen klarzustellen. Falls sich doch noch etwas Sinnvolles ergibt poste es ruhig, morgen ist eh die letzte chance.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 23.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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