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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:22 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Man zeige, dass alle gebrochen linearen Transformationen, die die Einheitskreislinie in sich überführen, in der Form
[mm] $S(z)=\frac{az+b}{\overline{b}z+\overline{a}}$
[/mm]
mit [mm] $a,b\in\IC$ [/mm] und [mm] $|a|\neq|b|$ [/mm] geschrieben werden können. |
Hallo,
ich habe die Lösung meiner damaligen Übung vorliegen, kann sie allerdings nicht wirklich nachvollziehen:
[mm] $S^1$ [/mm] bezeichne den Einheitskreis in der komplexen Ebene. Betrachte das zu den Abbildungen gehörige Abbildungsdiagramm (Ich denke hier ist schon ein Fehler, da $T$ und [mm] $T^{-1}$ [/mm] nicht invers zueinander sind):
[mm] $S:S^1\rightarrow S^1$ [/mm] gesucht
[mm] $T:S^1\rightarrow\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] mit [mm] $T(z)=\frac{z+1}{z-1}:\frac{i+1}{i-1}$ [/mm] (Doppelverhältnis)
[mm] $S_g:\IR\cup\{\infty\}\rightarrow\IR\cup\{\infty\}$ [/mm] mit [mm] $S_g(z)=\frac{az+b}{cz+d}$
[/mm]
[mm] $T^{-1}:\IR\cup\{\infty\}\rightarrow S^1$ [/mm] mit [mm] $T^{-1}(z)=\frac{z+i}{z-i}$ [/mm] (Inverse von T)
Beachte, dass $T$, [mm] $T^{-1}$ [/mm] und [mm] $S_g$ [/mm] gebrochen lineare Transformationen (Möbiustransformationen) sind. $S$ bestimmen wir nun durch die Komposition
[mm] $S(z)=(T^{-1}\circ S_g\circ [/mm] T)(z)$
$S$ ist als Komposition von Möbiustransformationen wieder eine Möbiustransformation. Fassen wir die Möbiustransformationen mit Matrizenschreibweise auf, so erhalten wir $S$ durch
[mm] $S(z)=(T^{-1}\circ S_g\circ T)(z)=\pmat{ 1 & i \\ 1 & -i }\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ i & i \\ 1 & -1 }=\pmat{ b-c+i(a+d) & b+c+i(a-d) \\ -(b+c)+i(a-d) & -(b-c)+i(a+d) }=\pmat{ \alpha & \beta \\ -\overline{\beta} & -\overline{\alpha} }$
[/mm]
Fragen:
1) Woher weiß ich, dass ich ausgerechnet das obige (spezielle) Doppelverhältnis verwenden muss?
2)Wir komme ich vom obigen Doppelverhältnis auf die rechte der drei Matrizen?
3) Der Beweis liefert uns
[mm] $S(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}-\overline{\alpha}}\overset{?}{\neq}\frac{\alpha z+\beta}{\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}$
[/mm]
und damit doch nicht die Behauptung, oder?
Es wäre schön, wenn mir jemand behilflich sein könnte.
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Kann mir niemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 18.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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