Möbiustransformationen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 27.12.2009 | | Autor: | meauw |
Hallo. Ich habe eine Frage zu Möbiustransformationen.
Im Allgemeinen geht es um folgendes:
Wenn ich ein Gebiet in der komplexen Ebene gegeben habe und ich möchte es mit einer konformen Abbildung z.B. einer Möbiustransformation auf ein anderes abbilden ist mir nicht 100% klar wie ich diese konstruieren muss, dass es auch wirklich klappt.
Meine Problematik werde ich am Besten an einem Beispiel demonstrieren:
Nehmen wir an, dass wir eine konforme Abbildung suchen, die den Einheitskreis auf die obere Halbebene schickt.
Soweit so gut. In Vielen Büchern wird dazu die Abbildung [mm] T(z)=\bruch{i*(1+z)}{1-z} [/mm] angegeben. Okay. Jetzt stellt sich für mich die Frage wie diese Abbildung konstruiert worden ist. Mir ist klar, dass eine Möbiustransformation durch das Bild von drei Punkten eindeutig festgelegt ist. Hier wurden also vermutlich T(0)=i , T(i)=-1 und T(-1)=0 gewählt.
Okay. Dann kann man jetzt nachweisen, dass die Abbildung auch wirklich das macht was sie soll. Doch jetzt mein eigentliches Problem:
Wieso hat man z.B. nicht die Möbiustransformation von T(0)=i, T(-1)=1 und T(i)=-1 gewählt. Wenn ich diese ausrechne erhalte ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) [mm] \frac{(-1)*(3*z)+3*i*z+1-i}{z+1+i+3*i*z}. [/mm]
Für mich erscheint diese Wahl der Bildpunkte viel "natürlicher", da man auch einen Bildpunkt in der rechten oberen Halbebene wählt und damit z.B. sichergeht, dass man nicht zufällig den zweiten Quadranten als Bild erhält (was ja theoretisch bei der obigen Trafo möglich wäre...wenn man nur die drei gegebenen Punkte betrachtet). Wie kommt man aber ganz intuitiv auf diese "schönen" und "richtigen" Transformationen?
(Das man das alles fleißig nachrechnen kann ist mir klar)
Wäre über etwas Hilfe wirklich sehr dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss
|
|
| |
|
Zunächst bildet dein [mm]T[/mm] die drei Punkte nicht wie von dir beabsichtigt ab. Richtig müßte es
[mm]w = T(z) = \left( -1 + \operatorname{i} \right) z + \operatorname{i}[/mm]
heißen. Dann gilt: [mm]0 \mapsto \operatorname{i} \, , \ \ -1 \mapsto 1 \, , \ \ \operatorname{i} \mapsto -1[/mm]
Aber auch nach dieser Korrektur leistet die Abbildung nicht das Gewünschte. Benutze die Kreistreue:
[mm]1 \mapsto -1 + 2 \operatorname{i} \, , \ \ \operatorname{i} \mapsto -1 \, , \ \ -1 \mapsto 1[/mm]
Die drei Urbilder liegen auf dem Einheitskreis [mm]k[/mm], die drei Bilder auf dem Kreis [mm]k'[/mm] um [mm]\operatorname{i}[/mm] vom Radius [mm]\sqrt{2}[/mm]. Dann muß aus Gründen der Stetigkeit des Innere von [mm]k[/mm] entweder ganz auf das Innere oder ganz auf das Äußere von [mm]k'[/mm] abgebildet werden. Wegen [mm]0 \mapsto \operatorname{i}[/mm] ist es das Innere von [mm]k'[/mm].
In der angehängten Datei kannst du [mm]z[/mm] bewegen und dabei [mm]w = T(z)[/mm] beobachten. Zum Anschauen brauchst du das Programm Euklid, von dem du ![[]](/images/popup.gif) hier eine Demoversion herunterladen kannst.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Möbiustransformation
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 28.12.2009 | | Autor: | meauw |
Hey. Also die von dir konstruierte Abbildung liefert aber auch keine konforme Abbildung vom Einheitskreis in die obere Halbebene. Offensichtlich liegen z.B. die Bilder von den Punkten, die auf der Kreislinie von k im 2.Quadraten liegen
nicht in der oberen (sondern in der unteren) Halbebene.
Vielleicht mal ein anderes Beispiel:
Nehmen wir an wir wollen, den ersten Quadranten auf die Fläche abbilden, die sich ergibt, wenn man die obere Halbebene mit der Fläche schneidet, die der Einheitskreis begrenzt. Also:
T: { z | z komplex, Im(z) >= 0 } ----> { z | z komplex, |z|<=1 , Im(z)>=1 }
In der Literatur findet man folgende Formel:
[mm] T(z)=\bruch{1+i*z}{1-i*z} [/mm]
Das diese Formel das gewünsche liefert kann man nachrechnen.
Man sieht weiter:
T(i)=0 , T(0)=1 , T(1)=i
Soweit so gut!
Es ist jetzt klar, dass die gerade durch i und 0 aus der Urbildebene
auf die Gerade durch 0 und 1 in der Bildebene abgebildet wird.
Weiter ist klar, dass die Gerade durch 1 und 0 in der Urbildebene auf den kreis durch 1 und i in der Bildebene abgebildet wird. Nimmt man einen
Punkt aus dem Innern wird er auch auf das Innere des oberen Einheitshalbkreises abgebildet.
Doch jetzt meine Frage:
Wieso hätte ich nicht die Punkte T(1)=i , T(i)=0, T(0)=-1 nehmen können?
Diese Punkte liefern mir [mm] T(z)=\bruch{-(z+i*z+1-i)}{3*i*z+1-i-z} [/mm] .
Liefert diese Abbildung nicht genau das gleiche?
Die Abbildung aus der Literatur erscheint mir aber viel "einfacher" und "natürlicher". Wie kommt man auf diese? Gibt es da eine geometrische Überlegung?
Noch eine andere Frage:
Angeblich bildet [mm] f(z)=z^2 [/mm] (definiert über den Hauptzweig des log) due Fläche { z | z komplex, |z|<=1 , Im(z)>=1 } auf die Fläche { z | z komplex, z [mm] \not\in \IR [/mm] , |z|<1 } Aber kann das sein 0o? Ich mein: Für eine komplexe Zahl z=r*exp(it) mit |r|<=1 und [mm] 0<=t<=\pi [/mm] gilt ja [mm] z^2:=r^2 [/mm] * exp(2*i*t)
Aber mit t=0 (was ja eine legale Wahl ist) liege ich doch auf der reellen Achse 0o 0o? (hmm..geht es vielleicht ohne den Rand von { z | z komplex, |z|<=1 , Im(z)>=1 } ??)
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 28.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schon deine Annahme, wie man auf die Abb. in den Buechern kommt ist falsch.
Man nimmt immer 3 Punkte auf dem Rand, und bildet sie auf den Rand des neuen gebietes ab. also hier z1,z2,z3 auf desm Rand des kreises, wenn die Reihenfolge so ist dass sie in der Reihenfolge links rum laufen, muessen sie so auf dir reelle achse abgebildet werden, dass die obere Halbebene links liegt.
Mit z1=i,T(z1)=-1 z2=-1 T(z2)=0 z3=-i T(z3)=1 ereichst du das,
oder z3=1 [mm] T(z3)=\infty [/mm] auch.
Die Abbildung ist nicht eindeutig! d.h. du kannst etwa vor dein z noch [mm] e^{i\phi} [/mm] schreiben, also die Punkte auf dem Kreis drehen, oder mit ner anderen Abb. des Einheitskreises kombinieren.
allgemein findest du die einfachste Abb, indem du z1,z2,z3 beliebig waehlst, linksrum, wenn du die obere HE haben willst, dann z1 nach 0, z3 nach [mm] \infty [/mm] z2 nach 1 abbildest.
dann ist
[mm] T=\bruch{z2-z3}{z2-z1}*\bruch{z-z1}{z-z3}
[/mm]
(Vorstellen kann man sich die Moebiustransf. am einfachsten auf der Riemannschen Zahlenkugel, wo sie einfache Drehungen+ Streckung mit reellen faktoren sind.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 28.12.2009 | | Autor: | meauw |
Hi. Okay. Wenn man deine "Regel" mal auf mein Beispiel aus dem zweiten Post anwendet, bedeutet dies:
[mm] z_1=i [/mm] , [mm] z_2=0 [/mm] , [mm] z_3=1 [/mm] --> Hier lauft man von 1 bis 3 so, dass das Gebiet links von einem liegt
[mm] T(z_1)=0 [/mm] , [mm] T(z_2)=1 [/mm] , [mm] T(z_3)=i [/mm] ---> Hier läuft man wieder von 1 bis 3 so, dass das Innere des Gebiets linker Hand liegt.
Aber woher kommt diese Regel? (Beweis und so...)
Und warum kann ich jetzt nicht einfach so laufen:
[mm] z_1=1 z_2=0 z_3=i [/mm] ---> Hier liegt das Gebiet rechter Hand
und
[mm] T(z_1)=0 T(z_2)=-1 T(z_3)=i [/mm] ---> Hier liegt das Gebiet wieder rechts
Dann erhalte ich [mm] T(z)=\bruch{z-1}{z+1} [/mm]
Okay das sieht auch schön aus. Aber wie hängt das mit der Formel aus dem Buch zusammen? Wieder Drehung 0o??
Gruss und Danke im voraus!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mo 28.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch gesagt, auf dem Rand des Kreises, warum nimmst du immer einen inneren Punkt also 0 dazu? schlimmstenfalls kriegst du dann ne Abb die nur den Sektor mit den 3 Randpunkten abbildet. der Rand muss doch wieder Rand werden
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 28.12.2009 | | Autor: | meauw |
Aber wenn man Halbkreise abbildet gehört doch auch der "gerade" Teil zum Rand dazu und nicht nur der gebogene!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 28.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich bin schon von deiner urspruenglichen Aufgabe ausgegangen:
Einheitskreis auf Halbebenene und Moebius.
Halbkreis kannst du nicht mit Moebius auf Halbebene abbilden!
Dann haben wir ein anderes problem. Um was gehts denn nun?
gruss leduart
|
|
|
|
