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Hallo Zusammen,
welche Tricks (Bspe.) kennt Ihr um bei Laplace-Experimenten keine Konstellation von Ereignissen zu vergessen, die günstig für das betrachtete Ereignis ist?
Ein Bsp.:
geg.: 2maliger Würfelwurf
ges.: Wahrscheinlichkeit, dass Augenzahl [mm] \le [/mm] 3 ist
Trick:
1. Zeichnet Karthesisches Koordinatensystem
2. Normierung auf 1
3. Zieht von y=3 nach x=3 eine Diagonale Gerade ein
4. Alle Kreuzungspunkte inkl. der auf der Diagonalen stellen je
ein für das gesuchte Ereignis günstiges Ergebnis dar.
Wie wäre es z.B. bei 4 fachem Münzwurf und gesuchter WS, dass genau 2mal Zahl fällt?
Danke Euch!
Grüße
Peter. 
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> Hallo Zusammen,
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> welche Tricks (Bspe.) kennt Ihr um bei Laplace-Experimenten
> keine Konstellation von Ereignissen zu vergessen, die
> günstig für das betrachtete Ereignis ist?
Stirne runzeln und ganz scharf nachdenken! - Aber nun im Ernst:
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> Ein Bsp.:
> geg.: 2maliger Würfelwurf
> ges.: Wahrscheinlichkeit, dass Augenzahl [mm]\le[/mm] 3 ist
Ich nehme an, die Bedingung ist, dass die Augenzahl in beiden Würfen [mm] $\leq [/mm] 3$ ist. - Oder meinst Du vielleicht, dass die Augensumme beider Würfe [mm] $\leq [/mm] 3$ sein soll?
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> Trick:
> 1. Zeichnet Karthesisches Koordinatensystem
> 2. Normierung auf 1
> 3. Zieht von y=3 nach x=3 eine Diagonale Gerade ein
> 4. Alle Kreuzungspunkte inkl. der auf der Diagonalen
> stellen je
> ein für das gesuchte Ereignis günstiges Ergebnis dar.
Dies ist einfache eine "originelle" Version der allgemeinen Technik: eine vollständige Liste (Tabelle: hier eine [mm] $6\times [/mm] 6$-Tabelle) aller möglichen Fälle des Laplace-Experiments aufzustellen und die günstigen Fälle zählen. Nur: so richtige Kombinatorik ist dies eher nicht. Aber es geht: sofern, wie Du offenbar schon bemerkt hast, nicht "zu oft gewürfelt wird"...
Ein rein rechnerisches Argument, bei dem auch sicher kein Fall vergessen geht, ist dies: sowohl die Augenzahl beim ersten Wurf als auch diejenige beim zweiten Wurf, können bei einem günstigen Fall auf 3 Arten (und unabhängig voneinander) gewählt werden (Augenzahlen 1,2 und 3). Gemäss "Produktsatz" der Kombinatorik gibt es daher insgesamt [mm] $3\cdot [/mm] 3=9$ günstige Fälle.
> Wie wäre es z.B. bei 4 fachem Münzwurf und gesuchter WS,
> dass genau 2mal Zahl fällt?
Mangels eines $4$-dimensionalen Notizblattes geht's hier eigentlich nur noch mittels reiner Überlegung: Die zwei Würfe aus insgesamt vier Würfen, die bei einem günstigen Fall Zahl zeigen, können auf [mm] $\binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}=6$ [/mm] Arten ausgewählt werden: dies ist auch die Zahl der günstigen Fälle. Allgemeiner: die Anzahl Möglichkeiten, in $n$ Würfen genau $k$ mal Zahl zu werfen, ist [mm] $\binom{n}{k}$.
[/mm]
Da es insgesamt [mm] $2^n$ [/mm] mögliche Fälle gibt, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Werfen von genau $k$ mal Zahl: [mm] $\frac{\binom{n}{k}}{2^n}$
[/mm]
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Hallo Zusammen,
habe mich wohl ungenau ausgedrückt.
2. Versuch:
Kennt Ihr Strategien mit denen man beim Auszählen der günstigen Fälle zur Berechnung der Laplace-WS verhindern kann sich zu verzählen?
Potenzielle Strategie:
Also z.B. man bastele sich eine Tabelle mit x Spalten und y Zeilen.
Anhand der Anzahl der Zellen kann man dann die Mächtigkeit der Menge der günstigen Fälle angeben..
Bsp.
4 facher Münzwurf aus dem sich 16 mögliche 4er-Tupel ergeben.
Gesucht: WS, dass genau 2 mal Zahl gezeigt wird.
Wieviele Spalten und Zeilen müsste eine derartige Tabelle für das Auszählen der günstigen Fälle in dem Bsp. haben, sodass die Anzahl der entstehenden Zellen = der Anzahl der günstigen Fälle ist?
Besten Dank & Grüße,
Peter
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> Hallo Zusammen,
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> habe mich wohl ungenau ausgedrückt.
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> 2. Versuch:
> Kennt Ihr Strategien mit denen man beim Auszählen der
> günstigen Fälle zur Berechnung der Laplace-WS verhindern
> kann sich zu verzählen?
>
> Potenzielle Strategie:
> Also z.B. man bastele sich eine Tabelle mit x Spalten und
> y Zeilen.
> Anhand der Anzahl der Zellen kann man dann die Mächtigkeit
> der Menge der günstigen Fälle angeben..
>
> Bsp.
> 4 facher Münzwurf aus dem sich 16 mögliche 4er-Tupel
> ergeben.
> Gesucht: WS, dass genau 2 mal Zahl gezeigt wird.
>
> Wieviele Spalten und Zeilen müsste eine derartige Tabelle
> für das Auszählen der günstigen Fälle in dem Bsp. haben,
> sodass die Anzahl der entstehenden Zellen = der Anzahl der
> günstigen Fälle ist?
Also nochmals: wenn Du eine Münze $n=4$ mal wirfst, dann gibt es [mm] $2^n=2^4=16$ [/mm] mögliche Ergebnisse (n-Tupel, die die Ergebnisse der n Würfe zusammenfassen). Aber eine Tabelle scheint mir kaum die natürliche Datenstruktur zur Darstellung dieser Ergebnismenge zu sein. Dazu verwendet man besser einen binären Baum der Tiefe $n$. Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt bzw. jedes Blatt entspricht dann genau einem der [mm] $2^n$ [/mm] Ergebnisse.
Eine Baumstruktur bietet sich zur Darstellung aller möglichen Ergebnisse eines Laplace-Experimentes immer dann an, wenn sich dieses Laplace-Experiment als mehrstufiges Experiment auffassen lässt, bei dem sich die möglichen Ergebnisse der Teilexperimente problemlos überblicken lassen: wie dies bei Deinem Beispiel des Münzwurfes mit $n=4$ der Fall ist. Aber für $n=1000$ würde wohl niemand den fraglichen Baum wirklich zeichnen wollen: in diesem Falle rechnet man nur noch [mm] $\binom{1000}{2}=\frac{1000\cdot 999}{1\cdot 2}=499'500$
[/mm]
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> Kennt Ihr Strategien mit denen man beim Auszählen der
> günstigen Fälle zur Berechnung der Laplace-WS verhindern
> kann sich zu verzählen?
Solange man sich im "kleinen Bereich" befindet (bis etwa 20 Kombinationen), kann man natürlich jede einzelne hinschreiben und dann zählen, wie viele davon günstig sind.
Wenn es sich aber um einige Tausend Kombinationen handelt, dann dürfte dieses Verfahren zu zeitaufwändig sein.
Dennoch würde ich in so einem Fall - wo du unsicher bist oder Angst hast, etwas zu übersehen oder vergessen - dir empfehlen, die selbe Aufgabe zunächst einmal mit kleinen überschaubaren Zahlen zu lösen, um das Prinzip zu verstehen. Denn was im Kleinen funktioniert, das funktioniert dann auch im Großen.
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Fällt Euch spontan ein, wie man schnell bspw. beim Wurf von 3 Münzen auf einmal, die Anzahl der möglichen Ausgänge des Wurfs [mm] (K;Z)^3 [/mm] lückenlos in einer Tabelle zusammentragen kann?
Wie müsste soeine Tabelle wohl aussehen?
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Hallo Peter_Pan,
> Fällt Euch spontan ein, wie man schnell bspw. beim Wurf von
> 3 Münzen auf einmal, die Anzahl der möglichen Ausgänge des
> Wurfs [mm](K;Z)^3[/mm] lückenlos in einer Tabelle zusammentragen
> kann?
>
> Wie müsste soeine Tabelle wohl aussehen?
Zunächst zeichnest du - wie von den anderen schon vorgeschlagen - einen binären Baum, daraus entwickelst du dann die Tabelle:
[mm] \begin{matrix} k& Ergebnisse & Anzahl\\ \hline\\0 & ZZZ&1\\1 & KZZ, ZKZ, ZZK&3 \\ 2 & ... & ...\end{matrix}
[/mm]
Da auch dies bei größeren Zahlen schnell unübersichtlich wird, hilft dir dann nur noch die ![[]](/images/popup.gif) Kombinatorik
Gruß informix
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