Momenterzeugende Funktion < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Sa 31.01.2015 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | [mm] W_t [/mm] ist ein Wiener Prozess
Momenterzeugende Fkt.
[mm] M_{W_t}=e^{\bruch{s^{2}\sigma^{2}t}{2}}
[/mm]
[mm] Z_{t}=e^{W_t}
[/mm]
Erwartungswert von Z berechnen. |
Ich habe gelernt, dass die erste Ableitung der Momenterzeugenden Funktion ausgewertet an der Stelle 0 der Erwartungswert ist.Das ist die Theorie, aber wie setze ich das im konkreten Fall um?
In der Lösung steht folgendes:
[mm] \mu_{Z}=E[e^{W_t}]=M_{W_t}(1) =e^{\bruch{\sigma^{2}t}{2}}
[/mm]
Warum wurde die momenterzeugende Funktion nicht abgeleitet und arum wird hier auf einmal 1 eingesetzt?
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Hiho,
du solltest dir mal sauber aufschreiben, was du gegeben hast und was gesucht ist, dann kommst du vermutlich selbst drauf.
Tipp: Du suchst den Erwartungswert von [mm] $Z_t$, [/mm] hast aber die Momenterzeugende von [mm] W_t [/mm] gegeben.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 01.02.2015 | | Autor: | bla234 |
Hm... Sitze jetzt schon wieder viel zu lange daran. Komme nicht wirklich drauf.
Meine Überlegungen gehen in die Richtung
[mm] E[W_{t}]=0
[/mm]
[mm] E[e^{W_{t}}]=e^{E[W_{t}]}=1
[/mm]
Das stimmt ja so offensichtlich nicht, dass es mir die Haare aufstellt es zu schreiben. Kannst du mir noch einen Tipp geben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 01.02.2015 | | Autor: | bla234 |
Jetzt gerade kam mir noch eine Idee:
allgemein gilt ja [mm] M_{V}(s)=E[e^{sV}]
[/mm]
Könnte ich jetzt shcreiben [mm] E[e^{1*W_t}]=M_{W_t}(1)=e^{\bruch{\sigma^{2}t}{2}} [/mm]
Ist das richtig? Aber warum muss ich nicht ableiten? Und keine null einsetzen? Verstehe die Logik nicht dahinter.
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Hiho,
> Jetzt gerade kam mir noch eine Idee:
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> allgemein gilt ja [mm]M_{V}(s)=E[e^{sV}][/mm]
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> Könnte ich jetzt shcreiben
> [mm]E[e^{1*W_t}]=M_{W_t}(1)=e^{\bruch{\sigma^{2}t}{2}}[/mm]
>
> Ist das richtig? Aber warum muss ich nicht ableiten? Und
> keine null einsetzen? Verstehe die Logik nicht dahinter.
das sieht doch schon mal besser aus.
Komme mal weg von deinem Ableiten und deiner Null, das brauchst du hier gar nicht, du nutzt nämlich ausschließlich Gleichungen und gar keine Eigenschaften der Momenterzeugenden Funktion!
Es gilt für [mm] W_t [/mm] Wiener Prozess:
$ [mm] M_{W_t}(s) [/mm] = [mm] E[e^{sW_t}] [/mm] = [mm] e^{\bruch{s^{2}\sigma^{2}t}{2}} [/mm] $
und daher für s=1:
[mm] $M_{W_t}(1) [/mm] = [mm] E[e^{1*W_t}] [/mm] = [mm] E[e^{W_t}]$
[/mm]
Nun haben wir "zufällig" [mm] $Z_t [/mm] = [mm] e^{W_t}$ [/mm] gegeben, d.h. stupides Einsetzen liefert:
[mm] $M_{W_t}(1) [/mm] = [mm] E[e^{1*W_t}] [/mm] = [mm] E[e^{W_t}] [/mm] = [mm] E[Z_t]$
[/mm]
und du hast den Erwartungswert von [mm] Z_t [/mm] durch einfaches Einsetzen und bekanntem Wissen erhalten.
Die Eigenschaften der Momenterzeugenden Funktion brauchst du hier gar nicht.
Die bräuchtest du nur, wenn du die Momente von [mm] W_t [/mm] (!!!) berechnen willst, du möchtest aber den Erwartungswert von [mm] Z_t [/mm] (!!!) berechnen, was rein formal gesehen eine "ganz andere" Zufallsvariable ist.
Gruß,
Gono
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