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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Jede monotone Funktion [mm] $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] ist messbar. |
Meine Idee ist zu zeigen, dass
[mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})~\forall~r\in\mathbb{R}.
[/mm]
Sei [mm] $r\in\mathbb{R}$ [/mm] beliebig. Entweder es gibt keine [mm] $x\in\mathbb{R}$, [/mm] für die [mm] $f(x)\leq [/mm] r$ gilt, dann hat man die leere Menge und die ist Borelmenge.
Oder alle [mm] $x\in\mathbb{R}$ [/mm] erfüllen das, dann hat man eine Borelmenge, nämlich [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
Oder es gibt gewisse [mm] $x\in\mathbb{R}: f(x)\leq [/mm] r$. Dann gilt doch für $r=:f(y)$
[mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}: x
und das ist ein offenes Intervall, also eine Borelmenge
Ist das so ein korrekter Beweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> Jede monotone Funktion [mm]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/mm] ist
> messbar.
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> Meine Idee ist zu zeigen, dass
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> [mm]$\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})~\forall~r\in\mathbb{R}.[/mm]
das sieht schonmal gut aus.
> Sei [mm]r\in\mathbb{R}[/mm] beliebig. Entweder es gibt keine
> [mm]x\in\mathbb{R}[/mm], für die [mm]f(x)\leq r[/mm] gilt, dann hat man die
> leere Menge und die ist Borelmenge.
>
> Oder alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm] erfüllen das, dann hat man eine
> Borelmenge, nämlich [mm]\mathbb{R}[/mm].
Das kannst Du einfach so formulieren: Ist [mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}=\varnothing$ [/mm] oder
[mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}=\IR,$ [/mm] so ist nichts mehr zu zeigen (da [mm] $\varnothing, \IR$ [/mm] beide messbar
sind).
Sei also im Folgenden sowohl [mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\not=\varnothing$ [/mm] als auch [mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\not=\IR\,.$
[/mm]
> Oder es gibt gewisse [mm]x\in\mathbb{R}: f(x)\leq r[/mm]. Dann gilt
> doch für [mm]r=:f(y)[/mm]
>
> [mm]\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}: x
Das gilt nicht. Nimm' mal an, es wäre [mm] $f\,$ [/mm] konstant [mm] $=r\,$ [/mm] nur auf $[0,1]$ und Du wählst [mm] $y=\tfrac{1}{2}\,.$
[/mm]
Das meinst Du sicher nicht, aber Du musst schon genauer sagen, nach
welchem Kriterium das [mm] $y\,$ [/mm] gewählt wird - und dann musst Du auch noch
weiter aufpassen: Es kann ja auch [mm] $f\,$ [/mm] konstant [mm] $=r\,$ [/mm] nur auf $[0,1)$ sein...
Und man kann auch sicher einfach schnell drauf verzichten, aber es schadet
sicherlich ja nichts:
Weil man weiß, dass, wenn [mm] $f\,$ [/mm] messbar ist, auch [mm] $-\,f$ [/mm] messbar ist, kann
man o.E. auch direkt mal annehmen, dass [mm] $f\,$ [/mm] monoton wachsend ist.
Dann kannst Du oben nämlich sagen (sei also [mm] $f\,$ [/mm] wachsend):
Ist [mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}$ [/mm] weder leer noch [mm] $=\IR,$ [/mm] so hat diese Menge
- weil sie dann nach oben beschränkt sein muss (warum?) - ein Supremum
in [mm] $\IR$ [/mm] (Erinnerung: Vollständigkeit!) - es sei also
[mm] $y:=\sup \left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\,.$
[/mm]
Jetzt sind noch zwei Fälle möglich:
Entweder ist [mm] $y\,$ [/mm] sogar Maximum der Menge [mm] $\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}$ [/mm] (und damit gilt $f(y) [mm] \le [/mm] r$);
oder es ist "reines" Supremum (dann ist $f(y) > [mm] r\,$...).
[/mm]
(Anmerkung: Wir können damit übrigens keinesfalls schließen, dass [mm] $f(y)=r\,$ [/mm] in
einem der beiden Fälle gelten müsste...)
P.S. Minimal anders findest Du den Beweis für (wachsende) Funktionen auch
![[]](/images/popup.gif) hier
(bzw. hier).
Gruß,
Marcel
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> Dann kannst Du oben nämlich sagen (sei also [mm]f\,[/mm]
> wachsend):
> Ist [mm]\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}[/mm] weder leer
> noch [mm]=\IR,[/mm] so hat diese Menge
> - weil sie dann nach oben beschränkt sein muss (warum?) -
Das meint doch: [mm] $\exists M\in\mathbb{R}: \lvert x\rvert\leq [/mm] M$ für alle $x$ aus der Menge? Naja, wenn sie nicht beschränkt wäre, hätte man wieder ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] - oder und das will man ja gerade nicht.
> ein Supremum
> in [mm]\IR[/mm] (Erinnerung: Vollständigkeit!) - es sei also
>
> [mm]y:=\sup \left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\,.[/mm]
>
> Jetzt sind noch zwei Fälle möglich:
> Entweder ist [mm]y\,[/mm] sogar Maximum der Menge
> [mm]\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}[/mm] (und damit gilt
> [mm]f(y) \le r[/mm]);
> oder es ist "reines" Supremum (dann ist [mm]f(y) > r\,[/mm]...).
>
> (Anmerkung: Wir können damit übrigens keinesfalls
> schließen, dass [mm]f(y)=r\,[/mm] in
> einem der beiden Fälle gelten müsste...)
>
> P.S. Minimal anders findest Du den Beweis für (wachsende)
> Funktionen auch
>
> hier
>
> (bzw.
> hier).
>
>
> Gruß,
> Marcel
Welche Aussage ist das mit dem Supremum?
Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen?
Inwiefern hat das mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen zu tun? Das ist doch einfach ein Axiom, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 So 11.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Dann kannst Du oben nämlich sagen (sei also [mm]f\,[/mm]
> > wachsend):
> > Ist [mm]\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}[/mm] weder leer
> > noch [mm]=\IR,[/mm] so hat diese Menge
> > - weil sie dann nach oben beschränkt sein muss
> (warum?) -
>
> Das meint doch: [mm]\exists M\in\mathbb{R}: \lvert x\rvert\leq M[/mm]
> für alle [mm]x[/mm] aus der Menge?
ja, fast (ersetze [mm] $\red{|}x\red{|} \le [/mm] M$ durch $x [mm] \le [/mm] M$). Ich schreibe jetzt mal
[mm] $f_{\le r}:=\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}=f^{-1}(\;(-\infty,r]\;)\,.$ [/mm] Dann bedeutet das
[mm] $\exists [/mm] M [mm] \in \IR:$ $\forall [/mm] x [mm] \in f_{\le r}$: [/mm] $x [mm] \le M\,.$ [/mm]
> Naja, wenn sie nicht beschränkt
> wäre, hätte man wieder ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] - oder und das
> will man ja gerade nicht.
Ja, denn: Ist [mm] $f_{\le r}$ [/mm] NICHT nach oben beschränkt, so gilt: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist
$f(n) [mm] \le [/mm] r$ (also $n [mm] \in f_{\le r}$) [/mm] und damit auch [mm] $(-\infty,n] \subseteq f_{\le r},$ [/mm] weil [mm] $f\,$ [/mm] monoton wachsend ist.
Daraus folgt
[mm] $\IR=\bigcup_{n \in \IN}(-\infty,n] \;\subseteq\; f_{\le r}\,,$
[/mm]
und damit schon [mm] $f_{\le r}=\IR.$
[/mm]
> > ein Supremum
> > in [mm]\IR[/mm] (Erinnerung: Vollständigkeit!) - es sei also
> >
> > [mm]y:=\sup \left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}\,.[/mm]
> >
> > Jetzt sind noch zwei Fälle möglich:
> > Entweder ist [mm]y\,[/mm] sogar Maximum der Menge
> > [mm]\left\{x\in\mathbb{R}:f(x)\leq r\right\}[/mm] (und damit gilt
> > [mm]f(y) \le r[/mm]);
> > oder es ist "reines" Supremum (dann ist
> [mm]f(y) > r\,[/mm]...).
> >
> > (Anmerkung: Wir können damit übrigens keinesfalls
> > schließen, dass [mm]f(y)=r\,[/mm] in
> > einem der beiden Fälle gelten müsste...)
> >
> > P.S. Minimal anders findest Du den Beweis für (wachsende)
> > Funktionen auch
> >
> >
> hier
> >
> > (bzw.
> >
> hier).
> >
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Welche Aussage ist das mit dem Supremum?
Naja, diese Aussage steht in dem verlinkten Beweis so nicht drin. Deswegen
habe ich auch geschrieben, dass der Beweis dort "minimal anders" ist. Bei
meiner Version ist es halt so:
Ich definiere [mm] $y:=\sup f_{\le r}\,$ [/mm] und behaupte (weil ich [mm] $f_{\le r}=\IR$ [/mm] dabei nicht zugelassen
habe), dass $y [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Und [mm] $f_{\le r}$ [/mm] ist nach Voraussetzung eine nichtleere Teilmenge
von [mm] $\IR,$ [/mm] die, da wir [mm] $f_{\le r}=\IR$ [/mm] in diesem Beweisteil ausgeschlossen haben, nach oben
beschränkt ist. Das brauchen wir, denn:
Wir müssen ja sichern, dass [mm] $\sup f_{\le r}$ [/mm] überhaupt EXISTIERT und zudem habe ich
behauptet, dass da auch [mm] $\sup f_{\le r} \in \IR$ [/mm] gilt - also insbesondere ist [mm] $\sup f_{\le r}=\infty$ [/mm]
nicht möglich.
> Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der
> reellen Zahlen?
Ja!
> Inwiefern hat das mit der Vollständigkeit der reellen
> Zahlen zu tun? Das ist doch einfach ein Axiom, oder?
Das kommt drauf an, wie ihr die reellen Zahlen definiert habt. Es gibt
die Bezeichungen Supremumsaxion, Schnittaxiom und auch Vollständigkeitsaxiom.
Lies' Dir vielleicht einfach
das hier (klick!)
mal durch (bzgl. der oben erwähnten Namen der Axiome).
Gruß,
Marcel
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