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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:31 Sa 17.05.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Sei O [mm] \not= \emptyset [/mm] eine beliebige Menge, C [mm] \subseteq [/mm] P(O) ein durchschnittsstabiles Mengensystem mit O [mm] \in [/mm] C und F := sigma (C).
Zu betrachten ist der Vektorraum H der Funktionen O --> R mit folgenden Eigenschaften:
(i) Für alle A [mm] \in [/mm] C sind die Indikatorfunktionen [mm] I_{A} \in [/mm] H
(ii)Für jede wachsenden Folge nichtnegativer Funktionen [mm] (f_{n}) [/mm] aus H mit beschränktem punktweisen Grenzwert f(x) := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x), [/mm] x [mm] \in [/mm] O ist auch f in H
Zeigen Sie : H enthält alle beschränkten F-messbaren Funktionen. |
Mein Versuch: Sei D = {A : [mm] I_{A} \in [/mm] H}. Nach (i) ist O [mm] \in [/mm] H und C [mm] \subset [/mm] D.
Wenn jetzt [mm] A_{1} \subset A_{2} [/mm] in D sind, dann gilt [mm] I_{A_{1}\backslash A_{2}} [/mm] = [mm] I_{A_{s}}-I_{A_{1}} \in [/mm] H weil H ein Vektorraum ist und damit [mm] A_{2}\backslash A_{1} \in [/mm] D. Wenn [mm] (A_{n}) [/mm] eine wachsende Folge von Funktionen in D ist dann ist [mm] I_{\bigcup_{i=1}^{n} A_{n}} [/mm] = sup [mm] I_{A_{n}} \in [/mm] H nach (ii). Daher ist D ein Dynkin-System auf O das C enthält und damit sigma(C) [mm] \subset [/mm] D.
Sei jetzt f [mm] \in [/mm] sigma(C) eine Funktion dann ist [mm] f=f^{+} [/mm] - [mm] f^{-} [/mm] , wobei [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] nichtnegativ und F-messbar sind. Wenn f [mm] \in [/mm] sigma(C) nichtnegativ ist, dann ist f der Grenzwert einer Folge von Funktionen [mm] f_{n}= \summe_{i=1}^{n} x_{i}^{(n)} I_{A_{i}^n} [/mm] mit alle [mm] A_{i}^n \in [/mm] sigma(C). Deshalb sind alle [mm] f_{n} [/mm] in H und damit nach (ii) auch alle f.
Bin in der Materie noch nicht wirklich sicher. Ist das so ok?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 21.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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