Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Sa 20.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo, ich soll 3 Aussagen überprüfen, ob sie für monoton wachsende oder/und für strengmonoton wachsende Funktionen gelten.
1) Ist f (streng) monoton steigend, so ist f lokal invertierbar
2) Ist f (streng) monoton steigend, so ist f messbar
3) Es gibt eine (streng) monoton steigende Funktion mit f(f(x))=x-1.
1) Habe ich schon, das fand ich nicht allzu schwierig.
2) Habe ich die Annahme, dass es für beides gilt, da wir bereits mal gezeigt haben, dass jede monotone Funktion integrierbar ist.
Zu 3) habe ich leider gar keine Ahnung :(
2) folgt glaube aus der Beziehung, dass ich Messbarkeit mit der Menge {f [mm] \le [/mm] a} betrachten kann oder?
Kann mir jemand bei 3) helfen?
Vielen Dank im Voraus
|
|
| |
|
Hallo hilbert,
wie wäre es mit [mm] $f(x)=x-\bruch{1}{2}$ [/mm] ?
Es genügt ja, eine Funktion anzugeben, die die Bedingung erfüllt, und sie entsprechend noch auf Monotonie zu untersuchen.
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 20.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Oh das stimmt, das war ja schön blöd von mir^^.
Also gibt es auf jeden Fall eine streng monotone Funktion.
Ich glaube eine monotone Funktion kann nicht existieren oder?
Wie sieht es eigentlich aus, wenn man das ganze umdreht? Für den Fall, dass es eine (streng) monoton fallende Funktion ist, kann man ja nicht so leicht eine Funktion angeben, jedenfalls ich nicht.
g(x)=-f(x) funktioniert hier ja nicht.
Hat hier auch jemand eine Idee?
Aber schonmal danke =).
Ist das richtig, dass ich bei 2)die Mengen {f(x) [mm] \le [/mm] a} anschauen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Oh das stimmt, das war ja schön blöd von mir^^.
>
> Also gibt es auf jeden Fall eine streng monotone Funktion.
> Ich glaube eine monotone Funktion kann nicht existieren
> oder?
>
> Wie sieht es eigentlich aus, wenn man das ganze umdreht?
> Für den Fall, dass es eine (streng) monoton fallende
> Funktion ist, kann man ja nicht so leicht eine Funktion
> angeben, jedenfalls ich nicht.
> g(x)=-f(x) funktioniert hier ja nicht.
> Hat hier auch jemand eine Idee?
$f(x)=-x-1/2$ ist streng monoton fallend mit $f(f(x))=x+1$, oder habe ich Dich falsch verstanden? Die Hintereinanderausführung monoton steigender Funktionen ist monoton steigend, und die Hintereinanderausführung monoton fallender Funktion ist auch monoton steigend.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 20.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
> [mm]f(x)=-x-1/2[/mm] ist streng monoton fallend mit [mm]f(f(x))=x+1[/mm],
Hier ist $f(f(x))=x$, wie für alle $f(x)=-x+a$.
> oder habe ich Dich falsch verstanden? Die
> Hintereinanderausführung monoton steigender Funktionen ist
> monoton steigend, und die Hintereinanderausführung monoton
> fallender Funktion ist auch monoton steigend.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
>
> > [mm]f(x)=-x-1/2[/mm] ist streng monoton fallend mit [mm]f(f(x))=x+1[/mm],
>
> Hier ist [mm]f(f(x))=x[/mm], wie für alle [mm]f(x)=-x+a[/mm].
>
Nachdem reverend mein $f$ nicht akzeptiert: Gibt es eine streng monoton fallende Funktion $f$ mit [mm] $f(f(x))=x+1\;?$ [/mm] Ich finde nämlich keine.
Neugierig,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 20.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
> Nachdem reverend mein [mm]f[/mm] nicht akzeptiert: Gibt es eine
> streng monoton fallende Funktion [mm]f[/mm] mit [mm]f(f(x))=x+1\;?[/mm] Ich
> finde nämlich keine.
War nicht $f(f(x))=x-1$ gesucht?
Aber ganz generell finde ich keine monoton fallende Funktion, die $f(f(x))=x+a$ mit [mm] a\in\IR, a\not=0 [/mm] erfüllt. Wenn es aber keine geben kann, müsste man das doch auch zeigen können...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Wolfgang,
>
> > Nachdem reverend mein [mm]f[/mm] nicht akzeptiert: Gibt es eine
> > streng monoton fallende Funktion [mm]f[/mm] mit [mm]f(f(x))=x+1\;?[/mm] Ich
> > finde nämlich keine.
>
> War nicht [mm]f(f(x))=x-1[/mm] gesucht?
>
> Aber ganz generell finde ich keine monoton fallende
> Funktion, die [mm]f(f(x))=x+a[/mm] mit [mm]a\in\IR, a\not=0[/mm] erfüllt.
> Wenn es aber keine geben kann, müsste man das doch auch
> zeigen können...
kann man sicher auch. Ich hatte mir auch schon so ein bisschen was
dazu aufgeschrieben, aber da entstand noch kein Widerspruch:
[mm] $$f=f^{-1} \circ (\text{id}+a)$$
[/mm]
muss gelten.
Ich hatte schon die Idee, wenn man [mm] $f^{-1} \circ f=\text{id}$ [/mm] benutzt,
irgendwo einen Widerspruch mit der Monotonie erzeugen könnte. Aber
das scheint mir eher nicht so.
Vielleicht kann man sich mal ein paar notwendige Bedingungen für [mm] $f\,$
[/mm]
hinschreiben... vielleicht sieht man dann irgendwann einen Widerspruch.
Naja, ich denke bei Gelegenheit auch nochmal drüber nach...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mo 22.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Angenommen, es gibt eine monoton fallende Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit der Eigenschaft
f(f(x))=x+1 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Ist nun z [mm] \in \IR [/mm] und setzt man x:=f(z), so folgt:
f(z)+1=x+1= f(f(x))= f(f(f(z)))=f(z+1) [mm] \le [/mm] f(z),
also haben wir den Widerspruch 1 [mm] \le [/mm] 0.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mo 22.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
danke!
> Angenommen, es gibt eine monoton fallende Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> mit der Eigenschaft
>
> f(f(x))=x+1 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Ist nun z [mm]\in \IR[/mm] und setzt man x:=f(z), so folgt:
>
> f(z)+1=x+1= f(f(x))= f(f(f(z)))=f(z+1) [mm]\le[/mm] f(z),
>
> also haben wir den Widerspruch 1 [mm]\le[/mm] 0.
Hinterher siehts ja immer einfach aus. Respekt.
Im übrigen nennt man die Ungleichung [mm] 1\le{0} [/mm] im allgemeinen "Nettokreditaufnahme".
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Fred,
> Angenommen, es gibt eine monoton fallende Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> mit der Eigenschaft
>
> f(f(x))=x+1 für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Ist nun z [mm]\in \IR[/mm] und setzt man x:=f(z), so folgt:
>
> f(z)+1=x+1= f(f(x))= f(f(f(z)))=f(z+1) [mm]\le[/mm] f(z),
>
> also haben wir den Widerspruch 1 [mm]\le[/mm] 0.
Sauber! Ich war schon so verzweifelt, daß ich versuchte, mit verschachtelten Gaußklammern so ein $f$ zu konstruieren. Dein Beweis gibt mir nun wieder Seelenruhe! 
Gruß,
Wolfgang
>
> FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh das stimmt, das war ja schön blöd von mir^^.
>
> Also gibt es auf jeden Fall eine streng monotone Funktion.
> Ich glaube eine monotone Funktion kann nicht existieren
> oder?
natürlich kann sie existieren, nämlich einfach die gleiche. Jede streng
monoton wachsende Funktion ist insbesondere monoton wachsend.
(Aber nicht jede monoton wachsende Funktion ist auch streng wachsend -
siehe etwa konstante Funktionen!)
Da steht ja nirgends, dass sie eine monoton wachsende Funktion
suchen, die aber nicht streng monoton wachsend sein dürfe...
(Das, was Du meinst, würde man so fragen: Gibt es eine monoton, aber
nicht streng monoton, wachsende Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit der Eigenschaft...
Aber das ist eine andere Frage, die so hier nicht gestellt worden ist!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:45 Sa 20.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Ja okay, das verstehe ich. Es stand aber genau dieser Zusatz dabei, den hatte ich vergessen. Entschuldigung.
Wie sieht es denn nun bei monoton fallenden Funktionen aus?
wenn f(x)=-x+a immer falsch ist, weiß ich nicht wie die Funktion sonst aussehen könnte.
Oder kann man zeigen, dass dann keine solche existiert?
Habe 1) 2) und 3) jetzt fertig, aber der monoton fallende Fall interessiert mich dann doch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 22.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Sa 20.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich soll 3 Aussagen überprüfen, ob sie für
> monoton wachsende oder/und für strengmonoton wachsende
> Funktionen gelten.
>
> 1) Ist f (streng) monoton steigend, so ist f lokal
> invertierbar
> 2) Ist f (streng) monoton steigend, so ist f messbar
> 3) Es gibt eine (streng) monoton steigende Funktion mit
> f(f(x))=x-1.
>
>
> 1) Habe ich schon, das fand ich nicht allzu schwierig.
> 2) Habe ich die Annahme, dass es für beides gilt, da wir
> bereits mal gezeigt haben, dass jede monotone Funktion
> integrierbar ist.
Das stimmt aber nur bedingt !
1. Monotone Funktionen auf kompakten Intervallen sind Riemannintegrierbar.
2. [mm] $f(x)=-\bruch{1}{x}$ [/mm] ist auf [1, [mm] \infty) [/mm] streng mon. steigend, aber nicht Lebesgueintegrierbar. f ist messbar.
> Zu 3) habe ich leider gar keine Ahnung :(
>
> 2) folgt glaube aus der Beziehung, dass ich Messbarkeit mit
> der Menge [mm] \{f \le a \} [/mm] betrachten kann oder?
Ja, mit solchen Mengen kann man die Messbarkeit zeigen.
FRED
>
> Kann mir jemand bei 3) helfen?
>
> Vielen Dank im Voraus
|
|
|
|
