Monotonie -> rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich versuche gerade die Monotonie einer rekursiv-definierten Folge a(n+1)=... mit a(1)=... zu beweisen. Dies geht höchstwahrscheinlich mit der Vollständigen Induktion. Induktion (ich habe schon etwas im Internet recherchiert - aber keine wirklich verständlichen Artikel/Foren-Beiträge gefunden)
Mir geht es nun um die allgemeine Vorgehensweise.
Der Induktionsanfang ist ja klar. Da muss man einfach zeigen, dass a(2)>a(1) ist. Aber wie geht man nun
beim Induktionsschritt vor. Die Induktionsannahme ist
ja vermutlich a(n+1)>a(n) und die Induktionsbehauptung vielleicht a(n+2)>a(n+1). Doch wie wird das ganze jetzt
im Induktionsschluss genau gezeigt? Und außerdem: a(n) hat man ja nur "indirekt" gegeben, wenn man die "Gleichung" von
a(n+1) umformt. Dreht man sich dann nicht im Kreis???
Also ich würde mich über einen allgemeinen Weg sehr freuen.
Ein ganz einfaches Beispiel (ohne kompliziert) wäre
natürlich fantastisch! :)
[Bei Google, Wiki, etc. habe ich schon gesucht, aber
- wie gesagt - nichts -->FÜR MICH<-- verständliches gefunden]
Es wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich versuche gerade die Monotonie einer
> rekursiv-definierten Folge a(n+1)=... mit a(1)=... zu
> beweisen. Dies geht höchstwahrscheinlich mit der
> Vollständigen Induktion. Induktion (ich habe schon etwas im
> Internet recherchiert - aber keine wirklich verständlichen
> Artikel/Foren-Beiträge gefunden)
>
> Mir geht es nun um die allgemeine Vorgehensweise.
> Der Induktionsanfang ist ja klar. Da muss man einfach
> zeigen, dass a(2)>a(1) ist. Aber wie geht man nun
> beim Induktionsschritt vor. Die Induktionsannahme ist
> ja vermutlich a(n+1)>a(n) und die Induktionsbehauptung
> vielleicht a(n+2)>a(n+1). Doch wie wird das ganze jetzt
> im Induktionsschluss genau gezeigt? Und außerdem: a(n) hat
> man ja nur "indirekt" gegeben, wenn man die "Gleichung"
> von
> a(n+1) umformt. Dreht man sich dann nicht im Kreis???
>
> Also ich würde mich über einen allgemeinen Weg sehr
> freuen.
> Ein ganz einfaches Beispiel (ohne kompliziert) wäre
> natürlich fantastisch! :)
>
> [Bei Google, Wiki, etc. habe ich schon gesucht, aber
> - wie gesagt - nichts -->FÜR MICH<-- verständliches
> gefunden]
>
> Es wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet!
>
> Beste Grüße
>
Nimm doch die Folge [mm] a_n=a*q^n [/mm] (q>1).
Rekursiv: [mm] a_1=a*q; a_{n+1}=q*a_n.
[/mm]
Wetten, dass du den Beweis hinbekommst?
Gruß Abakus
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Okay...nehmen wir aber mal die Folge
[mm] a_{n+1}=a_{n}*\left(2- \bruch{1}{n+3} \right) [/mm]
Mit dem Startwert [mm] a_{1}=1
[/mm]
Die sieht - zumindest bei mir im Taschenrechner - monoton wachsend aus. Dann müsste das ja auch mit Induktion nachzuweisen sein.
A) Induktionsverankerung:
[mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=1,8 [/mm]
Damit ist [mm] a_{2}>a_{1}
[/mm]
B) Induktionsschritt
1) Induktionsannahme
[mm] a_{n+1}>a_{n}
[/mm]
2) Induktionsbehauptung
[mm] a_{n+2}>a_{n+1} [/mm] ??????
3) Induktionsschluss
???
hmmmmmmmmmmmmmmmmm
ich bitte um Hilfe 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo able1tung!
Schätze hier wie folgt ab und verwende zuvor die Induktionsvoraussetzung:
[mm] $$a_{n+2} [/mm] \ = \ [mm] a_{n+1}*\underbrace{\left(2-\bruch{1}{n-3}\right)}_{> \ 1} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] a_{n+1}*\red{1} [/mm] \ = \ [mm] a_{n+1}$$
[/mm]
Damit steht die zu zeigende Ungleichung da ...
Gruß
Loddar
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> Hallo able1tung!
>
>
> Schätze hier wie folgt ab und verwende zuvor die
> Induktionsvoraussetzung:
>
> [mm]a_{n+2} \ = \ a_{n+1}*\underbrace{\left(2-\bruch{1}{n-3}\right)}_{> \ 1} \ \red{>} \ a_{n+1}*\red{1} \ = \ a_{n+1}[/mm]
>
> Damit steht die zu zeigende Ungleichung da ...
Hallo,
Du hast hier aber keine Induktion durchgeführt - was ja nix Schlimmes ist...
Du hast lediglich die Rekursionsvorschrift verwendet und die Tatsache, daß [mm] \left(2-\bruch{1}{n-3}\right) [/mm] > 1.
Das kann man ohne Induktionsanfang und -voraussetzung haben.
Würde man die zuvor begonnene Induktion zu Ende bringen, so würde man so abschätzen:
[mm] a_{n+2}=a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n-3}\right)>a_n\left(2-\bruch{1}{n-3}\right)=a_{n+1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mi 26.03.2008 | | Autor: | able1tung |
Also ich bin jetzt total verwirrt...
Ist der Ansatz nun richtig...wie geht er konkret weiter...und...was ist mit "abschätzen" gemeint ????
Könntet ihr mir den Beweis für die Aufgabe bis zum q.e.d. mal exemplarisch hinschreiben. Dann kann ich ihn auch auf ähnliche Aufgaben anwenden und versteh das Ganze am Besten
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> Also ich bin jetzt total verwirrt...
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> Ist der Ansatz nun richtig...wie geht er konkret
> weiter...und...was ist mit "abschätzen" gemeint ????
>
> Könntet ihr mir den Beweis für die Aufgabe bis zum q.e.d.
> mal exemplarisch hinschreiben. Dann kann ich ihn auch auf
> ähnliche Aufgaben anwenden und versteh das Ganze am Besten
Hallo,
abschätzen nach oben oder unten bedeutet, daß man - nach oben bzw. unten abschätzt.
Z.B. weiß ich, daß Deutschland 80Mio Einwohner hat.
Mit diesem Wissen kann ich die Anzahl der Haushalte in Deutschland abschätzen. Sie ist nämlich aufgrund obiger Tatsache kleiner als 80Mio. Mit mehr Kenntnissen könnte ich genauer abschätzen, würde ich mich für die Obergrenze für die Anzahl der deutschen Haushalte an der Anzahl der Bewohner Europas orientieren, hätte ich sehr grob abgeschätzt.
Loddar hat abgeschätzt, indem er [mm] \left(2-\bruch{1}{n-3}\right)>1 [/mm] verwendet hat,
ich, indem ich die Induktionsvoraussetzung [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] verwendet habe.
Wenn Du eine echte Induktion machen möchtest, solltest Du meine Beweisfortsetzung verwenden, denn sie arbeitet ja mit der Induktionsoraussetzung.
Mit Loddars Abschätzung hingegen kannst Du direkt, ohne Induktion die Behauptung zeigen:
[mm] a_{n+1}=a_n*\left(2-\bruch{1}{n-3}\right)>a_n*1=a_n. [/mm] Fertig.
Gruß v. Angela
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Okay...ich glaube ich habe jetzt einen schönen Beweis, den man auch universell anwenden kann. Er ist (soweit ich das sehe) aber nicht auf der Basis der Induktion (Ich frage mich immernoch, wo bei der Konvergenz-Untersuchung von rekursiven Folgen die vollständige Induktion eine Rolle spielt---ich hab das irgendwo gelesen, dass man damit irgendwas für die Konvergenz zeigen kann---hmmm)
Naja....hier nun der Beweis...
Gegeben sei eine rekursiv-definierte Folge
[mm] a_{n+1}=a_{n}*\left( 2-\bruch{1}{n+3} \right)[/mm] ; [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] n\in\IN\
[/mm]
Es soll nachgewiesen werden, dass die Folge monoton wachsend ist.
Behauptung:
[mm] a_{n}
Beweis:
[mm] a_{n}
[mm] 1<\left( 2-\bruch{1}{n+3} \right)
[/mm]
[mm] -1<\left( -\bruch{1}{n+3} \right)
[/mm]
[mm] 1>\left( \bruch{1}{n+3} \right)
[/mm]
n+3>1
n>-2
Aus der Voraussetzung: [mm] n\in\IN\ [/mm] folgt, dass die Aussage
n>-2 für den gesamten definierten Zahlenbereich wahr ist.
Für jedes [mm] n\in\IN\ [/mm] lässt sich aus der Behauptung eine
wahre Aussage herleiten. Die Behauptung ist also für alle
[mm] n\in\IN\ [/mm] erfüllt. Die Folge [mm] a_{n+1} [/mm] mit [mm] n\in\IN\ [/mm] ist damit
monoton wachsend.
und? gut?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 27.03.2008 | | Autor: | Kroni |
> Okay...ich glaube ich habe jetzt einen schönen Beweis, den
> man auch universell anwenden kann. Er ist (soweit ich das
> sehe) aber nicht auf der Basis der Induktion (Ich frage
> mich immernoch, wo bei der Konvergenz-Untersuchung von
> rekursiven Folgen die vollständige Induktion eine Rolle
> spielt---ich hab das irgendwo gelesen, dass man damit
> irgendwas für die Konvergenz zeigen kann---hmmm)
Hi,
es gibt da einen Satz: Wenn eine Folge monoton wachsend (fallend) ist, und nach oben (unten) beschränkt, dann besitzt die Folge einen Grenzwert: Graphisch: Wenn die Folge immer steigt und nicht größer wird, als eine obere Schranke, dann kann sie nur konvergieren. Wenn sie nur monoton steigt, also man anstatt des > auch ein >= setzen kann, und sie ab einem gewissen n konstant ist, dann ist der Grenzwert ja eh klar.
>
> Naja....hier nun der Beweis...
>
> Gegeben sei eine rekursiv-definierte Folge
> [mm]a_{n+1}=a_{n}*\left( 2-\bruch{1}{n+3} \right)[/mm] ; [mm]a_{1}=1[/mm] und
> [mm]n\in\IN\[/mm]
> Es soll nachgewiesen werden, dass die Folge monoton
> wachsend ist.
> Behauptung:
> [mm]a_{n}
> Beweis:
> [mm]a_{n}
> [mm]1<\left( 2-\bruch{1}{n+3} \right)[/mm]
>
> [mm]-1<\left( -\bruch{1}{n+3} \right)[/mm]
> [mm]1>\left( \bruch{1}{n+3} \right)[/mm]
>
> n+3>1
> n>-2
>
> Aus der Voraussetzung: [mm]n\in\IN\[/mm] folgt, dass die Aussage
> n>-2 für den gesamten definierten Zahlenbereich wahr ist.
Wenn alle [mm] $a_n>0$ [/mm] dann ja. Sonst hättest du ja das Vorzeichen umdrehen müssen. Aber ja, so könnte man das auch rechnen. So hast du ja nachgerechnet, für welche n die Ungleichung stimmt. Allerdings bedient man sich bei der Monotonie dann meist doch der Vollständigen Induktion. Das ist irgendwie "beweissicherer". So wie Angela es schon geschrieben hat, so wäre es perfekt.
> Für jedes [mm]n\in\IN\[/mm] lässt sich aus der Behauptung eine
> wahre Aussage herleiten. Die Behauptung ist also für alle
> [mm]n\in\IN\[/mm] erfüllt. Die Folge [mm]a_{n+1}[/mm] mit [mm]n\in\IN\[/mm] ist damit
> monoton wachsend.
>
> und? gut?
Wenn du sicher weißt, dass alle [mm] $a_n>0$ [/mm] sind, dann kannst du einfach dadurch teilen ja. Ansonsten, wie gesagt, würde ich einfach die Induktion nehmen =)
LG
Kroni
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Okay...naja...Es ist ja - in gewisser Hinsicht - aus der Vorschrift für die Folge ersichtlich, dass sie für kein n (sofern es natürlich ist) negativ werden kann.
Könntet ihr mir mal den vollständigen Induktionsbeweis von Anfang bis Ende hinschreiben. Ich komme bei diesem Ansatz nämlich wirklich nicht weiter und so hätte ich eine Art Musterbeispiel.
Das wäre echt super :)
Beste Grüße
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Zu zeigen: Die Folge
[mm]a_{n+1} = a_{n}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)[/mm], [mm]a_{1} = 1[/mm]
ist monoton wachsend.
Beweis (durch vollständige Induktion):
Um zu zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] monoton wachsend, reicht es zu zeigen: [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}.
[/mm]
Induktionsanfang: n = 1
Es ist offenbar
[mm]a_{2} = a_{1}*\left(2-\bruch{1}{4}\right) = 1.75 > 1 = a_{1}[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
Die Aussage [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] sei für alle [mm]n\in\IN[/mm] richtig.
Induktionsschritt:
[mm]n \to n+1[/mm]: Aus [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] muss folgen [mm] a_{n+2} [/mm] > [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Induktionsbeweis:
Es ist offenbar
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right)
[/mm]
Im Folgenden wird benutzt, dass ein positives Produkt immer kleiner wird, wenn einer der Faktoren kleiner wird. Es ist nun:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) \underbrace{>}_{IV} a_{n}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) [/mm] = [mm] a_{n+1}.
[/mm]
q.e.d.
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(Noch zur Nebeninfo:
[mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)
[/mm]
gilt, weil praktisch von der linken 2 weniger abgezogen wird: [mm] \left(\bruch{1}{n+4}\right) [/mm] als von der rechten 2: [mm] \left(\bruch{1}{n+3}\right) [/mm] )
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Kannst du deinen letzten Schritt
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) \underbrace{>}_{IV} a_{n}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) [/mm] = [mm] a_{n+1}. [/mm]
noch etwas erläutern.
Mir ist deine Argumentation/Vorgehensweise noch nicht ganz ersichtlich.
(Schließt du von der Induktionsannahme auf die Behauptung oder umgekehrt? und was machst du da genau?) 0o
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 27.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Kannst du deinen letzten Schritt
>
> [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right)[/mm] >
> [mm]a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) \underbrace{>}_{IV} a_{n}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)[/mm]
> = [mm]a_{n+1}.[/mm]
>
> noch etwas erläutern.
> Mir ist deine Argumentation/Vorgehensweise noch nicht ganz
> ersichtlich.
>
> (Schließt du von der Induktionsannahme auf die Behauptung
> oder umgekehrt? und was machst du da genau?) 0o
Es ist immer so, dass man dann den Induktkonschritt von n nach n+1 vollzieht. In diesem Fall also von n+1 nach n+2 oder wie auch immer.
Hier versucht man zu zeigen, dass für alle n gilt:
[mm] $a_{n+2}>a_{n+1}$ [/mm] gilt.
Gut, schauen wir uns das mal an: Zunächst schreiben wir [mm] $a_{n+2}$ [/mm] hin. Das kennen wir ja, denn wir haben ja die rekursive Definition:
[mm] $a_{n+1}=a_{n}\cdot{}\left(2- \bruch{1}{n+3} \right)$
[/mm]
Nun setzen wir also für alle n n+1 ein, und erhalten damit die Rekursionformel für n+2- Ist das soweit klar? Ersetze überlall in der Formel n druch n+1, dann hast du die Rekursionsformel für n+2.
Nun wissen wir also, dass
[mm] $a_{n+2}=a_{n+1}\left{2-\frac{1}{n+1+3}\right)$ [/mm] gilt. Und jetzt versucht man den rechten Ausdruck irgendwie umzuformen, so dass man die Induktionsvorraussetzung da stehen hat. Diese war ja in unserem Fall:
[mm] $a_{n}>a_{n+1}=a_{n}\left(2- \bruch{1}{n+3} \right)$ [/mm]
Ist das soweit klar? Jetzt versucht man da irgendwie sowas hinzubekommen, dass man etwas "sinnvolles" stehen hat. Das zu sehen ist einfach nur training, und man muss das Ziel vor augen haben.
Man könnte zwar jtezt schon im ersten Schritt direkt einstezen: [mm] $a_{n}>$a_{n+1}$, [/mm] aber hier wurde erst noch ein wenig weiter umgeformt.
Schauen wir uns also erst die erste Umformung an. Dort wurde [mm] a_{n} [/mm] gleich gehalten, aber es ist ein > dazugekommen. D.h. es muss sich etwas in der Klammer getan haben. Hier wurde in der Klammer im Bruch etwas getan:
aus der [mm] $\frac{1}{n+4}$ [/mm] wurde [mm] $\frac{1}{n+3}$. [/mm] D.h. der Nenner wurde um 1 kleiner gemacht. Daraus weist du, dass der rechte Bruch größer ist als der linke. Da du diese "Zahl" von 2 abziehst, ist die linke Seite im Ganzen größer als die rechte. Ist das soweit klar?
Okay, dann haben wir da schonmal stehen, dass [mm] $a_{n+2}$ [/mm] größer ist als irgendetwas. Jetzt kommt dann die Inudktionsvorraussetzung:
[mm] $a_{n+1}>a_n$. [/mm]
Okay, auf der linken Seite haben wir irgendetwas mit [mm] $a_{n+1}$ [/mm] stehen. Also können wir schonmal sagen, dass das [mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] ist, denn das ist ja unsere Induktionsvorraussetzung (die man eigentlich in fast jeder Rechnung immer irgendwo wiederverwendet). Gut, es steht bei uns aber noch irgendein Faktor mit davor. Wenn du aber weist, dass 4>2 gilt, dann weist du aber auch gleichzeitig, dass 4*2>2*2 gilt. (D.h. du multiplizierst beide Seiten mit dem selben Faktor). Deshalb steht auf der rechten Seite auch nochmal die Klammer.
Gut, und jetzt siehst du auch, warum man die Klammer so schön umgeformt hat: Der Ausdruckt dort ist genau dein [mm] $a_{n+1}$! [/mm] Wenn du jetzt einfach links guckst, dann das > zeichen und dann rechts, und die Zwischenschritte steht dort [mm] $a_{n+2}>a_{n+1}$ [/mm] und du bist fertig.
Normal ist das bei der Rechnung wie gesagt immer so: Man guckt sich den Term an, der bei n+1 rauskommt, und formt den dann so um, dass man die Induktsionsvorraussetzung einsetzt (das geschiet hier an der Stelle, wo IV steht), und dann formt man das ganze so um, dass da letzendlich dann [mm] a_n [/mm] steht.
Ich hoffe, du kannst mit der Erkärung die Gedanken noch besser nachvollziehen.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Do 27.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Dank des Servers kam meine Antwort ja nicht an, nichtsdestotrotz hier das ganze doch nochmal, weil ich keine Lust habe, einen Text "umsonst" geschrieben zu haben:
Hallo Able1tung,
> Kannst du deinen letzten Schritt
>
> [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right)[/mm] >
> [mm]a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right) \underbrace{>}_{IV} a_{n}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)[/mm]
> = [mm]a_{n+1}.[/mm]
>
> noch etwas erläutern.
> Mir ist deine Argumentation/Vorgehensweise noch nicht ganz
> ersichtlich.
>
> (Schließt du von der Induktionsannahme auf die Behauptung
> oder umgekehrt? und was machst du da genau?) 0o
von der Behauptung auf die Induktionssannahme zu schließen wäre fatal, denn dann wäre der Beweis mindestens lückenhaft. Man muss von der Induktionsannahme auf die Behauptung schließen (bzw. es geht auch, wenn man nur äquivalente Umformungen benutzt, weil dieser Schluss dann darin enthalten ist; aber leider kann man nicht immer äquivalente Umformungen benutzen, gerade bei Induktionsbeweisen mit Ungleichungen hat man dieses "Problem").
Überlege Dir einfach, dass wegen [mm] $\frac{1}{n} [/mm] < 1$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgt, dass [mm] $2-\frac{1}{n+3} [/mm] > 0$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ( wegen [mm] $\blue{2-\frac{1}{n+3} > 0}$ [/mm] )
[mm] $a_{n+1}*\left(2-\frac{1}{n+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n}*\left(2-\frac{1}{n+3}\right)$
[/mm]
So kommt die letzte Abschätzung zustande. Die erste Abschätzung:
[mm] $a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)$
[/mm]
ist ähnlich banaler Natur. Sie erklärt sich, wenn man beachtet:
[mm] $a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{(n+1)+3}\right) [/mm] > [mm] a_{n+1}*\left(2-\bruch{1}{n+3}\right)$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{1}{n+3} [/mm] > [mm] \frac{1}{(n+1)+3}$
[/mm]
Strenggenommen sollte man dabei zudem beachten, dass hier gilt, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Folgenglied [mm] $a_n [/mm] > 0$ erfüllt.
Der Beweis dazu ist einfach:
Für $n=1$ ist das klar, da [mm] $a_1=1$.
[/mm]
Gelte [mm] $a_n [/mm] > 0$ für ein $n [mm] \in \IN$. [/mm] Oben solltest Du Dir ja schonmal klarmachen, dass [mm] $2-\frac{1}{n+3}>0$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.
Ist [mm] $a_n [/mm] >0$ für ein $n [mm] \in \IN$, [/mm] so folgt [mm] $a_{n+1} [/mm] > 0$, weil [mm] $a_{n+1}=\left(2-\frac{1}{n+3}\right)*a_n$ [/mm] und der erste Faktor $> 0$ ist, und der zweite (also [mm] $a_n$) [/mm] nach Induktionssannahme $> 0$ ist.
Gruß,
Marcel
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