Monotonie,Beschränktheit;Grenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:46 So 21.11.2010 | | Autor: | hilbert |
Monotonie,Beschränktheit,Grenzwert von:
[mm] x_n [/mm] := [mm] (1+\bruch{m}{n})^n
[/mm]
Zeige: [mm] x_n [/mm] -> [mm] e^m.
[/mm]
Der Spezialfall m=1 ist bewiesen.
Monotonie sieht bei mir bisher leider nur so aus:
[mm] \bruch{x_{n+1}}{x_n} \ge [/mm] 1
Die linke Seite betrachtet:
[mm] \bruch{x_{n+1}}{x_n} [/mm] = [mm] \bruch{(1+\bruch{m}{n+1})^{n+1}}{(1+\bruch{m}{n})^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\bruch{n+1+m}{n+1})^{n+1}}{(\bruch{m+n}{n})^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\bruch{n+1+m}{n+1})^{n}}{(\bruch{m+n}{n})^n} [/mm] * [mm] \bruch{n+1+m}{n+1}
[/mm]
= [mm] (\bruch{n+1+m}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+m})^n [/mm] * [mm] \bruch{n+1+m}{n+1}
[/mm]
Auf der linken Seite habe ich ein wenig rumgerechnet und komme auf :
=(1 - [mm] \bruch{m}{(n+1)(n+m)})^n [/mm] * [mm] \bruch{n+1+m}{n+1}
[/mm]
Nun weiß ich nicht mal genau, ob ich Bernoulli anwernden darf, ich habe es mal ausprobiert, komme aber leider zu keinem schlüssigem Ergebnis.
Könntet ihr mir vielleicht eine Idee verraten weiter zu machen oder aber eine neue Idee?
Nicht gleich die ganze Lösungsskizze.
Ich komm hier echt nicht weiter.
Vielen Dank im Voraus.
P.S. Leider falsches Unterforum gewählt :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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