Monotonie einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:10 Do 03.08.2006 | | Autor: | Prog |
| Aufgabe | Vor.: Seien a < b [mm] \in \IR, [/mm] f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig und in (a,b) differenzierbar
Beh.: Dann gilt
a) f monoton wachsend [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b) : f'(x) >= 0
b) f streng monoton wachsend [mm] \gdw [/mm] ( [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b) : f'(x) >= 0) [mm] \wedge
[/mm]
{x [mm] \in [/mm] (a,b) : f'(x) = [mm] 0}^{0} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So und um folgende unmissverständliche Bemerkung zu diesem Satz geht es nun (muss aber nicht stimmen diese Bemerkung):
1. Ableitung positiv -> Funktion fallend
1.Ableitung negativ -> Funktion steigend
Nach dem obigen Satz widerspricht sich aber die Bemerkung denn hier muss die 1.Ableitung positiv sein damit die Funktion steigend (monoton wachsend) ist. Ich hab aber im Gedächtnis das die Bemerkung nicht so falsch sein kann.....also weiß wer wie die Bemerkung in Einklang mit dem Satz steht?
mfg,
Alexander
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Hallo Alexander,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Da muss ich Dich leider enttäuschen, was Deine Erinnerung angeht. 
Es ist nämlich genau umgekehrt mit dem Vorzeichen der Ableitung und den beiden Monotonie-Arten:
[mm] [quote]$\text{1. Ableitung positiv} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \text{Funktion monoton steigend}$
[/mm]
[mm] $\text{1. Ableitung negativ} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \text{Funktion monoton fallend}$[/quote]Allerdings [/mm] ist dies auch genau das, was Du beim Aufgabenteil a.) zeigen sollst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi!
> [mm]\text{1. Ableitung positiv} \ \ \gdw \ \text{Funktion monoton steigend}[/mm]
>
> [mm]\text{1. Ableitung negativ} \ \gdw \ \text{Funktion monoton fallend}[/mm]
Wenn du mit positiv und negativ jeweils [mm] $\ge [/mm] 0$ und [mm] $\le [/mm] 0$ meinst, dann stimmt das. Normalerweise meint man damit aber $> 0$ und $< 0$, und das waer falsch :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Do 03.08.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Felix!
Okay, bei echt größer bzw. kleiner Null müssten wir dann auf jeweils strenge Monotonie erweitern.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Roadrunner!
> Okay, bei echt größer bzw. kleiner Null müssten wir dann
> auf jeweils strenge Monotonie erweitern.
Dann stimmen die Implikationen aber nur noch in eine Richtung: Ableitung strikt groesser/kleiner als Null impliziert strenge Monotonie.
(Gegenbeispiel: $f(x) = [mm] x^3$, [/mm] es ist $f'(0) = 0$ aber die Funktion ist trotzdem streng monoton steigend.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Prog |
Hallo....ok allgemein gilt jetzt:
f(x) monoton wachsend, wenn f(x) >0
f(x) monoton fallend, wenn f(x) <0
Was gilt jetzt bei >= 0? Eigentlich eh genau der Satz denn ich vorher genannt habe oder?
mfg,
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Fr 04.08.2006 | | Autor: | Barncle |
nein.. eben umgekehrt!
f (x) monoton wachsend [mm] \gdw [/mm] f'(x) [mm] \ge [/mm] 0
f (x) monoton fallend [mm] \gdw [/mm] f'(x) [mm] \le [/mm] 0
und
f (x) streng monoton wachsend [mm] \gdw [/mm] f'(x) > 0
f (x) streng monoton fallend [mm] \gdw [/mm] f'(x) < 0
zumindest fast immer wie obiges Gegenbeispiel zeigt! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 So 27.08.2006 | | Autor: | jesus-amen |
für monotone Funktionen giltt:
x1<=x2 folgt f(x1)<=f(x2)
für streng monotone Funktionen giltt dann:
x1<x2 flogt f(x1)<f(x2)
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kann man von streng monoton steigend bzw. fallend
auf die eineindeutigkeit einer Funktion [mm] schliessen??\bigcup_{i=1}^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> kann man von streng monoton steigend bzw. fallend
> auf die eineindeutigkeit einer Funktion
> [mm]schliessen??\bigcup_{i=1}^{n}[/mm]
Was genau ist denn `Eineindeutigkeit' bei dir? Injektivitaet? Oder Bijektivitaet? Streng monotone Funktionen sind injektiv, aber nicht umbedingt bijektiv, wie die Funktion [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] zeigt: Sie ist streng monoton steigend, jedoch nimmt sie nur echt positive Werte an.
LG Felix
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Eineindeutigkeit heisst hier eindeutig umkehrbar und ich wollte fragen wie man von der MOnotonie bzw. von der stregnen monotonie darauf schliessen kann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 31.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
siehe mal in google nach dem "Satz über die Umkerfunktion" (Analysis I)
Da muss f stetig und streng monoton wachsend (bzw. streng monoton fallend) sein.
Dann gibt es eine eindeutige Umkehrfunktion, die im übrigen wieder stetig ist.
Schau mal nach.
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Do 31.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo.
Sei $f : X [mm] \to [/mm] Y$ mit $X, Y [mm] \subseteq \IR$.
[/mm]
> Da muss f stetig und streng monoton wachsend (bzw. streng
> monoton fallend) sein.
>
> Dann gibt es eine eindeutige Umkehrfunktion, die im übrigen
> wieder stetig ist.
Wobei die Umkehrfunktion natuerlich nur auf dem Bild der Funktion definiert ist (also auf $f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y$) und nicht umbedingt auf ganz $Y$.
Aber selbst wenn $f$ nicht stetig ist, dann gibt es eine Umkehrfunktion zu $f$, die auf dem Bild von $f$ definiert ist; das liegt einfach daran, dass $f$ automatisch injektiv ist (kann man sich leicht ueberlegen, warum das so ist), und diese Aussage fuer injektive Funktionen immer wahr ist.
LG Felix
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