Monotonie und Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Se f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{x-a_{i}}
[/mm]
Zeigen Sie: Für f(x) = 0 gibt es exakt n-1 Lösungen |
Um diese Aufgabe zu lösen, muß ich auf jeden Fall zeigen, dass die Funktion eine Summe streng monoton fallender Funktionen ist und somit f in jedem Teilintervall des Definitionsbereiches streng monoton fällt.
Frage, wie mache ich das am Geschicktesten?
Des weiteren benötige ich den Zwischenwertsatz und muß zeigen, das die Funktion in den einzelnen Intervallen stetig ist und von + [mm] \infty [/mm] nach - [mm] \infty [/mm] geht, denn so ist gezeigt, dass es dort eine Nullstelle gibt. Wie zeige ich dies?
Schönen Dank schon mal im Voraus
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Hallo,
f ist ja Summe der n Funktionen [mm] f_i(x):=\frac{1}{x-a_i}, [/mm] welche allesamt stetig sind, also
ist f stetig (im bereich [mm] \IR\setminus\{a_1,\ldots , a_n\}). [/mm] Nachweis der Stetigkeit allg. fuer eine Funktion [mm] g(x)=\frac{1}{x-a} [/mm] im Bereich [mm] x\neq [/mm] a:
[mm] \frac{1}{x+\delta-a}-\frac{1}{x-a}=\frac{-\delta}{(x+\delta -a) (x-a)} [/mm] =
= [mm] \frac{\delta}{(x-a)(1+(x-a)\slash\delta} [/mm] was offenbar gegen 0 geht, wenn [mm] \delta [/mm] gegen 0 laeuft.
Also kann man fuer jedes fixe x zu jedem [mm] \epsilon ein\delta [/mm] finden.....
Zur Monotonie: Wie Du schreibst, reicht es ja aus, irgendwie zu zeigen, dass f
monoton fallend in den einzelnen Intervallen von [mm] \infty [/mm] nach [mm] -\infty [/mm] ist.
Koennt man nicht einfach so schliessen, dass nahe einem einzelnen [mm] a_i
[/mm]
die Summanden [mm] f_j=\frac{1}{x-a_j} [/mm] fuer [mm] j\neq [/mm] i beschraenkt sind und dann das
Verhalten von f nahe einem solchen [mm] a_i [/mm] durch den Beitrag [mm] f_i(x) [/mm] bestimmt wird ?
Viele Gruesse,
Mathias
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den nachweis zur Stetigkeit habe ich soweit verstanden und kann ihn glaube ich, nun auch ausführen, nur den Ansatz für Monotonie habe ich nicht verstanden.
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Hallo,
also versuchen wir das mit der Monotonie doch mal.
Du moechtest ja zeigen, dass die Funktion, wenn sie von links gegen [mm] a_j [/mm] l"auft, gegen
[mm] -\infty [/mm] konvergiert und von rechts gegen [mm] +\infty, [/mm] richtig ?
Versuchen wir den fall zu betrachten, dass x von links gegen [mm] a_j [/mm] strebt.
Schreiben wir also [mm] x=a_j-\delta [/mm] und untersuchen den Fall [mm] \delta\to [/mm] 0 (mit \ delta >0).
Sicherlich geht dann [mm] f_j=\frac{1}{x-a_j} [/mm] gegen [mm] -\infty, [/mm] setz einfach [mm] x=a_j-\delta [/mm] ein, dann
siehst Du es.
Was ist nun mit den anderen [mm] f_i (i\neq [/mm] j) ?
Wenn wir zeigen koennten, dass diese sich alle fuer x ''nahe bei [mm] a_j'' [/mm] jeweils
durch eine Konstante K abschaetzen liessen, haetten wir
[mm] f_j(x) [/mm] - [mm] n\cdot [/mm] K [mm] \leq f(x)\leq f_j(x)+n\cdot [/mm] K ''fuer x nahe bei [mm] a_j'',
[/mm]
und dann wuerd doch auch f(x) mit [mm] x\to a_j [/mm] von links gegen [mm] -\infty [/mm] konvergieren.
Also probieren wir das mit der Konstante mal:
[mm] f_i(x) =f_i(a_j-\delta)=\frac{1}{a_j-\delta-a_i}
[/mm]
und das konvergiert doch bei [mm] \delta\to [/mm] 0 gegen [mm] \frac{1}{a_j-a_i}
[/mm]
Wenn wir also
[mm] K=\max_{i\neq j,i\in\{1,\ldots , n\}} \frac{1}{|a_j-a_i|}
[/mm]
nehmen, dann sollt es doch in etwa klappen. Genauer: fuer die i, fuer die bei [mm] \delta\to [/mm] 0
[mm] \frac{1}{|a_j-\delta-a_i|} [/mm] waechst, nehmen wir als Absch. [mm] \frac{1}{|a_j-a_i|},
[/mm]
fuer diejenigen, fuer die es faellt, nehmen wir [mm] \frac{1}{|a_j-delta_0-a_i}
[/mm]
fuer zB [mm] \delta_0=\min_{i}\frac{|a_j-a_i|}{2}.
[/mm]
Ist zumindest die Idee klarer geworden ?
Viele Gruesse,
Mathias
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