Monotonie von (1+1/n)^(n+1) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] $a:\IN\to\IQ,n\mapsto\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ [/mm] monoton fällt. |
Nabend, ihr alle,
leider beiß ich mir an dieser Rechenaufgabe die Zähne aus. Mit der Bernoulli-Ungleichung komm ich auch nicht weiter.
[mm] $\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}\le [/mm] 1$
Was ist der Trick? Ich komm einfach nicht drauf.
Danke, Stefan.
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Hallo Stefan,
> Zeigen Sie, dass
> [mm]a:\IN\to\IQ,n\mapsto\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}[/mm]
> monoton fällt.
> Nabend, ihr alle,
>
> leider beiß ich mir an dieser Rechenaufgabe die Zähne
> aus. Mit der Bernoulli-Ungleichung komm ich auch nicht
> weiter.
Aber genau die hilft hier weiter!
>
> [mm]\frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}\le 1[/mm]
>
> Was ist der Trick? Ich komm einfach nicht drauf.
Zeige äquivalent: [mm] $\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}\ge [/mm] 1$
Nimm dir die linke Seite her, mache gleichnamig und multipliziere mit dem Kehrbruch statt zu dividieren:
[mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}=\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+2}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}=\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n+2}=\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)^{n+2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+2}$
[/mm]
Nun lasse auf den rechten Term die Bernoullische Ungl. los ...
>
> Danke, Stefan.
Gruß
schachuzipus
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Mist, das mit der Äquivalenz hab ich nur kurz überlegt und nicht ausprobiert!
Danke =) und gute Nacht.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:37 Mi 06.01.2010 | | Autor: | LouisP |
Hallo,
ich lese jetzt seit einiger Zeit in diesem Forum mit, weil ich mal in Mathe ganz gut war, aber im Moment kaum noch was damit zu tun habe.
Das hier verstehe ich jetzt aber nicht.
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ist doch monoton wachsend.
Wie kann denn dann [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] monoton fallend sein? Jedes Folgenglied ist doch größer als das entsprechende der anderen Folge, und zwar um den Faktor [mm] (1+\bruch{1}{n}), [/mm] und das ist >1.
Die ![[]](/images/popup.gif) Bernouilli-Ungleichung habe ich nachgeguckt, aber wieso zeigt die hier denn, dass die hoch-(n+1)-Folge jetzt fallend ist? Das kann ich nicht nachvollziehen, obwohl ich schon ein bisschen hin- und hergerechnet habe. Ich meine, die hoch-n-Folge ist doch eine monoton wachsende Minorante, oder?
Kann wer meine Verwirrung auflösen? Ich blick da nicht mehr durch.
Danke im Vorraus,
Ludovicus 
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> Hallo,
Hi,
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> ich lese jetzt seit einiger Zeit in diesem Forum mit, weil
> ich mal in Mathe ganz gut war, aber im Moment kaum noch was
> damit zu tun habe.
> Das hier verstehe ich jetzt aber nicht.
>
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] ist doch monoton wachsend.
>
> Wie kann denn dann [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}[/mm] monoton fallend
> sein? Jedes Folgenglied ist doch größer als das
> entsprechende der anderen Folge, und zwar um den Faktor
> [mm](1+\bruch{1}{n}),[/mm] und das ist >1.
>
Zu diesem Geheimnis kann ich dir leider auch keine Antwort präsentieren. Es verhält sich so paradox wie z.B. der riemannsche Umordnungssatz. Hier scheint ein sehr feines Verhältnis zwischen Summation und gleichzeitiger Potenzierung am Werk zu sein.
Vielleicht hat jemand noch einen schöneren Kommentar zu dem Sachverhalt.
> Die Bernouilli-Ungleichung
> habe ich nachgeguckt, aber wieso zeigt die hier denn, dass
> die hoch-(n+1)-Folge jetzt fallend ist? Das kann ich nicht
> nachvollziehen, obwohl ich schon ein bisschen hin- und
> hergerechnet habe. Ich meine, die hoch-n-Folge ist doch
> eine monoton wachsende Minorante, oder?
Falls du bis zum letzten Schritt alles nachvollziehen kannst, wovon ich ausgehe, ergibt sich dann folgendes:
$ [mm] =\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n(n+2)}\right)^{n+2}\underbrace{Bernoulli}_{\ge}\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{n+2}{n(n+2)}\right)=\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Nun folgende Gleichung lösen:
[mm] $\frac{n}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\ge [/mm] 1$
>
> Kann wer meine Verwirrung auflösen? Ich blick da nicht
> mehr durch.
>
> Danke im Vorraus,
> Ludovicus
Bitte,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:37 Mi 06.01.2010 | | Autor: | LouisP |
Hallo Stefan,
danke für die Erläuterung.
Klammer-, Bruch- und Potenzrechnung kann ich noch ganz gut, stelle ich fest. Das kann ich also alles nachvollziehen. Darauf selbst gekommen wäre ich aber nicht. Außerdem habe ich den Bernouilli falsch angewandt. Blöder Fehler.
Trotzdem: jetzt hast Du eine Ungleichungskette (so heißt das doch, oder?) mit zwei [mm] \ge [/mm] darin. Das zweite entpuppt sich dann als ein =.
Wer sagt mir denn, dass das erste nicht auch einfach ein Gleichheitszeichen ist? Das kann ich irgendwie nicht nachweisen oder widerlegen.
Ich dachte, dass eine monoton fallende Folge eben immer fällt, habe aber gerade nochmal nachgeschlagen und sehe, dass ich "monoton" mit "streng monoton" gleichgesetzt habe. Gut, das war wohl falsch. Aber wenn nun die Folge einfach konstant ist, dann würde ich doch nicht mehr von einer monoton fallenden Folge reden, oder?
Jedenfalls scheint da der Bruch und die Potenz zusammen wirklich subtil zu sein. Das überblickt man so als Normalsterblicher ja nicht gleich.
Ich denke morgen nochmal drüber nach, jetzt bin ich echt zu müde.
nightienight,
Louis
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> Hallo Stefan,
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> danke für die Erläuterung.
> Klammer-, Bruch- und Potenzrechnung kann ich noch ganz
> gut, stelle ich fest. Das kann ich also alles
> nachvollziehen. Darauf selbst gekommen wäre ich aber
> nicht. Außerdem habe ich den Bernouilli falsch angewandt.
> Blöder Fehler.
>
> Trotzdem: jetzt hast Du eine Ungleichungskette (so heißt
> das doch, oder?) mit zwei [mm]\ge[/mm] darin. Das zweite entpuppt
> sich dann als ein =.
>
> Wer sagt mir denn, dass das erste nicht auch einfach ein
> Gleichheitszeichen ist? Das kann ich irgendwie nicht
> nachweisen oder widerlegen.
>
Gleichheit reicht aus! Erklärung unten.
> Ich dachte, dass eine monoton fallende Folge eben immer
> fällt, habe aber gerade nochmal nachgeschlagen und sehe,
> dass ich "monoton" mit "streng monoton" gleichgesetzt habe.
> Gut, das war wohl falsch. Aber wenn nun die Folge einfach
> konstant ist, dann würde ich doch nicht mehr von einer
> monoton fallenden Folge reden, oder?
>
Doch. Konstante Folgen sind keins von beidem (optimistische ausgedrückt: sie sind beides), da aus [mm] $x\le [/mm] y$ [mm] $f(x)\le [/mm] f(y)$, aber ebenso aus [mm] $x\ge [/mm] y$ [mm] $f(x)\ge [/mm] f(y)$ folgt. Von daher ist insbesondere monotones Fallen gezeigt.
> Jedenfalls scheint da der Bruch und die Potenz zusammen
> wirklich subtil zu sein. Das überblickt man so als
> Normalsterblicher ja nicht gleich.
>
> Ich denke morgen nochmal drüber nach, jetzt bin ich echt
> zu müde.
>
> nightienight,
> Louis
Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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