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| Aufgabe | Es gilt [mm] D\subset \IR^n [/mm] und [mm] f,g\in C^2(D) [/mm] , [mm] u\in C^2(D,\IR^n)
[/mm]
Zeige die folgenden Aussagen:
1. [mm] \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla [/mm] f
2. [mm] \nabla*(fu)=f\nabla *u+u*\nabla [/mm] f
3. [mm] \Delta (fg)=f\Delta g+2\nabla f*\nabla [/mm] g+g [mm] \Delta [/mm] f |
1. ist doch die Produktregel für Gradienten. f und g müssen dabei zwei skalare Funktionen seien, keine Vektoren
2. u ist ein vektor und f eine skalare Funktion
3. das müsste die Produktregel sein?
Ich weiß nicht wie man diese Rechenregeln zeigen soll. Ich weiß dass sie so funktionieren und anzuwenden sind, aber nicht wie man das zeigt.
Könnt ihr mir dafür Tipps geben?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mathegirl!
> Es gilt [mm]D\subset \IR^n[/mm] und [mm]f,g\in C^2(D)[/mm] , [mm]u\in C^2(D,\IR^n)[/mm]
>
> Zeige die folgenden Aussagen:
>
> 1. [mm]\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f[/mm]
> 2. [mm]\nabla*(fu)=f\nabla *u+u*\nabla f[/mm]
> 3. [mm]\Delta (fg)=f\Delta g+2\nabla f*\nabla g+g \Delta f[/mm]
> 1. ist doch die Produktregel für Gradienten. f und g
> müssen dabei zwei skalare Funktionen seien, keine
> Vektoren
Richtig. Eigentlich nur fg in die Definition des Gradienten eingesetzt und die übliche Produktregel angewandt.
> 2. u ist ein vektor und f eine skalare Funktion
Richtig. Das ist auch eine Produktregel für die Divergenz. Auch hier gilt: Einsetzen in die Definition (der Divergenz) und die normale Produktregel anwenden:
[mm] \nabla*(fu) = \nabla * \vektor{fu_1\\fu_2\\fu_3} = \dots [/mm]
> 3. das müsste die Produktregel sein?
Ja, diesmal für den Laplaceoperator.
Tipp: [mm] $\Delta(fg) [/mm] = [mm] \nabla*(\nabla [/mm] (fg))$, und damit kannst du 1 und 2 anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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1 und 3 war nun kein Problem mehr, allerdings hänge ich noch an 2)
[mm] \nabla*(fu)=f\nabla *u+u*\nabla [/mm] f
Ich denke nicht, dass ich hier einfach einsetzen kann. Ich überlege noch wie ich das mit [mm] \Delta [/mm] irgendwie darstellen kann. Aber den richtigen Ansatz hab ich noch nicht.
Könnt ihr mir einen Tipp für einen Ansatz geben? Einsetzen sollen wir leider nicht einafch nur...
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Fr 04.05.2012 | | Autor: | triad |
> Ich denke nicht, dass ich hier einfach einsetzen kann.
Doch. Auch hier ist es wieder nur Einsetzen in die Definition der Divergenz und die normale Produktregel anwenden.
> Ich
> überlege noch wie ich das mit [mm]\Delta[/mm] irgendwie darstellen
> kann. Aber den richtigen Ansatz hab ich noch nicht.
Das muss man hier auch gar nicht.
$ [mm] \nabla\cdot{}(fu) [/mm] = [mm] \nabla \cdot{} \vektor{fu_1\\fu_2\\fu_3} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\partial_i(fu_i) [/mm] = [mm] \dots [/mm] $ . Hinter dem Summenzeichen befindet man sich in der i-ten Komponente von [mm] \nabla*(fu)=\vektor{\partial_1(fu_1) \\ \vdots \\ \partial_n(fu_n)}.
[/mm]
> Könnt ihr mir einen Tipp für einen Ansatz geben?
> Einsetzen sollen wir leider nicht einafch nur...
>
> MfG
> Mathegirl
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