Nachweis für Vektorraum,Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 So 07.01.2007 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Sei V = { [a,b,c,d] [mm] \in \IR^{4} [/mm] | d=a+b, c=a-b}
a) Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum ist
b) Bestimmen sie eine Basis von V |
Was muß ich hier jetzt machen? Im Prinzip muß ich doch für die a) erstmal die Axiome für Vektorräume nachweisen, die da wären:
i) Abgeschlossenheit bezügl. Addition und Multiplikation
ii) Assoziativ und Distrubitv-Gesetze
...oder?
Falls das alle waren, wie macht man sowas?
Und für die b), wie finde ich am schnellsten und besten eine Basis, falls es ein Vektorraum ist? Sind Basen Erzeugendensysteme? Ich brauch ja für eine Basis unabhängige Vektoren, und für [mm] \IR^4 [/mm] wahrscheinlich dann 4 Stück, oder? Wie finde ich die am Besten ?
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> Sei V = { [a,b,c,d] [mm] \in \IR^{4}| [/mm] d=a+b, c=a-b}
> a) Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum ist
> b) Bestimmen sie eine Basis von V
> Was muß ich hier jetzt machen? Im Prinzip muß ich doch für
> die a) erstmal die Axiome für Vektorräume nachweisen,
Hallo,
nein, Du brauchst gar nicht alle Axiome nachzuweisen.
Du mußt nur zeigen, daß V ein Unterraum des [mm] \IR^4 [/mm] ist
Also
1. V ist nichtleer (durch Angabe eines Elementes, welches drin liegt)
2. abgeschlossen bzgl. der Addition
3. abgeschlossen bzgl. der Multiplikation
Ich deute Dir mal an, wie Du das für 2. machen kannst.
zu 2. Zu zeigen ist ja, daß die Summe zweier beliebiger Elemente aus V auch in V liegt.
Seien also
[mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ t_1}, \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ t_2} \in [/mm] V.
Das bedeutet ja [mm] t_i=x_i+y_i [/mm] und [mm] z_i=x_i-y_i [/mm] , i=1,2.
Nun die Summe:
Es ist
[mm] \vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ t_1}+\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ t_2}=\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\t_1+ t_2}
[/mm]
Die Frage ist, ob dieser Vektor in v liegt.
Wann liegt er in V?
Wenn die dritte Koordinate, [mm] z_1+z_2 [/mm] gleich der Differenz aus erster und zweiter Koordinate ist, und die vierte die Summe aus erster und zweiter.
Die Multiplikation geht dann so ähnlich
> Und für die b), wie finde ich am schnellsten und besten
> eine Basis, falls es ein Vektorraum ist? Sind Basen
> Erzeugendensysteme?
Ja. Es sind minimale Erzeugendensysteme.
> Ich brauch ja für eine Basis unabhängige Vektoren, und für [mm]\IR^4[/mm] wahrscheinlich dann 4
> Stück, oder?
Das ist zwar wahr, aber bedenke: hier sollst Du keine Basis von [mm] \IR^4 [/mm] suchen (da kennen wir ja auch schon längst eine!), sondern es geht darum, eine Basis von V zu finden. V ist ja nur eine Teilmenge/Untervektorraum von [mm] \IR^4, [/mm] so daß die Dimension möglicherweise kleiner als 4 ist.
> Und für die b), wie finde ich am schnellsten und besten eine Basis, falls es ein Vektorraum ist?
Die Vektoren, die in V enthalten sind, haben alle die Gestalt
[mm] \vektor{a \\ b \\ a-b \\ a+b}=\vektor{a \\ 0\\ a \\ a}+\vektor{0\\ b \\ -b \\ b}=a\vektor{1 \\ 0\\ 1 \\ 1}+b\vektor{0\\ 1 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Sie werden also offensichtlich von [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 1 \\ 1}und \vektor{0\\ 1 \\ -1 \\ 1} [/mm] erzeugt.
Bleibt Dir, darüber zu meditieren, ob sie linear unabhängig sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 07.01.2007 | | Autor: | andieh |
Danke für diese ausführliche Antwort.
Ich habe noch zu der a eine Frage. 1 und 2 sind mir soweit klar.
Abgeschlossenheit bzgl der Addition geht ja so, dass ich ein paar Klammer umforme und dann auf die richtige Form komme, aber die Multiplikation bei Vektoren macht ja so gar keinen Sinn. Wie soll das dann gehen? Muss man dann mit dem Kreuzprodukt rechnen? Ich steh auf dem Schlauch.
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> die Multiplikation bei Vektoren macht ja so gar
> keinen Sinn. Wie soll das dann gehen? Muss man dann mit dem
> Kreuzprodukt rechnen?
Hallo,
bloß nicht!!!!!!!!!
Mit Multiplikation ist hier natürlich die Multiplikation gemeint, die zu einem Vektorraum gehört: die Multiplikation mit Skalaren.
Es ist also hier zu zeigen, daß für alle v [mm] \in [/mm] V und für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm]
[mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] V gilt.
Gruß v. Angela
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