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| Aufgabe | | Nebenklassen der Untergruppen der multipl. Gruppe [mm] \IZ_{18}[/mm] bestimmen. |
Hi,
die Elemente der Gruppe sind {1, 5, 7, 11, 13, 17} und die Untergruppen habe ich so:
Untergruppe a: <1> = {1}
Untergruppe b: <17> = {1, 17}
Untergruppe c: <7> = <13> = {1, 7, 13}
Untergruppe d: <5> = <11> = {1, 5, 7, 11, 13, 17}
Stimmt, oder?
Nun weiß ich bei den Nebenklassen aber einfach nicht weiter. Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Gruß Ptolemaios
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moin,
deine Untergruppen sehen gut aus.
Nehmen wir uns als ein Beispiel mal die Untergruppe $b$ und nennen die Einheitengruppe $E$.
Gesucht ist jetzt $E/b$.
Dies ist eine Menge von Restklassen, also
[mm] $E/b=\{[x] \mid x \in E\}$.
[/mm]
Hierbei ist $[x] := [mm] \{y \in E \mid xy^{-1} \in b\}$ [/mm] die Restklasse von $x$ nach $b$.
Man kann zeigen, dass $[x]$ immer die Form $[x] = [mm] x\cdot [/mm] b := [mm] \{x\cdot z \mid z \in b\}$ [/mm] hat; weißt du das bereits?
Setzen wir das mal voraus, so können wir die Restklassen recht schnell bestimmen:
$[1] = [mm] 1\cdot [/mm] b = [mm] \{1,17\}$.
[/mm]
Nun nehmen wir uns ein Element, das hier noch nicht drin ist, zB die 5:
$[5] = [mm] 5\cdot [/mm] b = [mm] \{5\cdot 1, 5\cdot 17\} [/mm] = [mm] \{5,13\}$.
[/mm]
Welches Element hatten wir jetzt noch nicht?
Die $7$ zB fehlt noch:
$[7] = [mm] 7\cdot [/mm] b = [mm] \{7,11\}$
[/mm]
Also wissen wir jetzt: $E/b = [mm] \{[1],[5],[7]\}$.
[/mm]
Was ich hier ganz stark benutzt habe: Die Menge der Nebenklassen bildet eine Partition der Gruppe, das heißt jedes Gruppenelement ist in genau einer Nebenklasse enthalten.
Sollte noch etwas unklar sein oder du einige der Begriffe nicht kennen frag ruhig nach; und sag dann am besten auch, was genau du schon weißt und wo genau es hakt.
lg
Schadow
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Hi shadowmaster,
danke für deine Antwort! Ich hoffe ich habe das richtig verstanden, folgendes habe ich nun:
E/a = {1, 5, 7, 11, 13, 17}
E/b = {1, 5, 7}
E/c = {1, 5}
E/d = {1}
Also ich habe mit dem niedrigsten Element angefangen und dann solange Elemente eingesetzt, bis ich alle durch hatte. Stimmt das?
Der Satz "...jedes Gruppenelement ist in genau einer Nebenklasse enthalten" hat mich etwas verwirrt...
Gruß Ptolemaios
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Das stimmt fast.
Du hast nur in den Mengen nicht die Elemente selber stehen, sondern die Restklassen.
Also zB $E/c = [mm] \{[1],[5]\} [/mm] = [mm] \{ \{1,7,13},{5,11,17\}\}$.
[/mm]
Du musst bedenken: Jede Nebenklasse ist selbst wieder eine Menge, wenn wir uns die Menge der Nebenklassen angucken so betrachten wir also eine Menge von Mengen.
Was du hingeschrieben hast ist ein Vertretersystem (aus jeder Nebenklasse genau ein Vertreter).
Das ist ein sehr guter Anfang und oftmals auch das, was man wissen möchte; aber wenn nach den Nebenklassen gefragt ist, solltest du dir nochmal genau den Unterschied klar machen.
lg
Schadow
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Ok, aber dann müsste man das bei der b) auch so schreiben, oder? Irgendwie verstehe ich gerade den Sinn und Zweck nicht mehr, das sind ja wieder alle Gruppenelemente, nur in einer anderen Reihenfolge? Die a und die d wären aber so oder so korrekt, oder?
E/b = {(1), (5), (7)} = {(1, 17, 5, 13, 7, 11)}
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 28.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Ptolemaios |
Danke an Schadowmaster. Habe es nun gesehen und hinbekommen.
Gruß Ptolemaios
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