Newton-Verfahren Konvergenz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Behälter in Gestalt eines senkrechten, runden Zylinders soll ein Fassungs-
vermögen von 1000 cm3 besitzen. Der runde Deckel und der runde Boden des
Behälters sollen einen 0; 25 cm größeren Radius als der Behälter besitzen, da-
mit mit dem Überschuss ein Verschluss mit dem Mantel gebildet werden kann.
Die den Mantel bildende Materialplatte muss 0; 25 cm länger als der Umfang des
Behälters sein, damit der Mantel geschlossen werden kann.
a) Bestimmen Sie die Gleichung, die gelöst werden muss, um die Materialmenge
zu minimieren.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines Verfahrens Ihrer Wahl die minimale Material-
menge auf 10^-4 cm2 genau. |
Die Aufgabe selbst habe ich gelößt. Die Nullstelle habe ich mit Hilfe des Newton-Verfahrens bestimmt. Das hatte ich zuvor schon mit Python implementiert.
Als Gesuchte Gleichung erhält man zunächst:
[mm] f(r)= \bruch{25000}{\pi r^2} + \bruch{2000}{r}+ 2 \pi (r+25)^2[/mm]
mit
[mm] f'(r)= -\bruch{50000}{\pi r^3} - \bruch {2000}{r^2} + 4 \pi (r+25)[/mm]
[mm] f''(r)= \bruch{150000}{\pi r^4} + \bruch {4000}{r^3} + 4 \pi [/mm]
Weil ich ja die Mateerialmenge minimieren soll suche ich also die Nullsteelle der ersten Ableitung. Demnach hab ich mit den beiden zuvor genannten Gleichungen das Newton-Verfahren laufen lassen und nach 145 Iterationen die gewünschte Genauigkeit erhalten.
Mein Prof hat in seiner Musterlösung Die erste Ableitung noch mit [mm]\pi r^3 /4 [/mm] multipliziert. So erhält er eine neue Funktion die jedoch die gleichen Nullstellen hat:
[mm] g(r) = \pi^2 r^4 + 25 \pi^2 r^3 - 500 \pi r - 12500 [/mm]
Er hat dann das Newton-Verfahren mit [mm] g(x)[/mm] und [mm]g'(x)[/mm] durchgeführt und bereits nach 3 Iterationen eine Genauigkeit von 10^-6 Nachkommastellen errechnet.
Auf Nachfrage beim Prof warum mene Vorgehensweise deutlich schlechter konvergiert, hat er sich auch gewundert und meinte das könnte eigentlich nicht sein, weil das Newton-Verfahren invariant gegenüber linearen Transformationen ist. Ich bin aber sicher dass meine Implementierung stimmt, weil sie in diversen anderen Beispielaufgaben immer exakte Ergebnisse berechnet hat.
Könnte mir jemand erklären wie diese unterschiedlichen Konvergenzraten zustande kommen?
vielen Dank im Voraus
mfg Beebelbrox
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Ein Behälter in Gestalt eines senkrechten, runden
> Zylinders soll ein Fassungs-
> vermögen von 1000 cm3 besitzen. Der runde Deckel und der
> runde Boden des
> Behälters sollen einen 0; 25 cm größeren Radius als der
> Behälter besitzen, da-
> mit mit dem Überschuss ein Verschluss mit dem Mantel
> gebildet werden kann.
> Die den Mantel bildende Materialplatte muss 0; 25 cm
> länger als der Umfang des
> Behälters sein, damit der Mantel geschlossen werden
> kann.
> a) Bestimmen Sie die Gleichung, die gelöst werden muss,
> um die Materialmenge
> zu minimieren.
> b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines Verfahrens Ihrer Wahl die
> minimale Material-
> menge auf 10^-4 cm2 genau.
>
> Die Aufgabe selbst habe ich gelößt. Die Nullstelle habe
> ich mit Hilfe des Newton-Verfahrens bestimmt. Das hatte ich
> zuvor schon mit Python implementiert.
>
> Als Gesuchte Gleichung erhält man zunächst:
>
> [mm]f(x)= \bruch{25000}{\pi r^2} + \bruch{2000}{r}+ 2 \pi (r+25)^2[/mm]
>
> mit
>
> [mm]f'(x)= -\bruch{50000}{\pi r^3} - \bruch {2000}{r^2} + 4 \pi (r+25)^2[/mm]
>
> [mm]f''(x)= \bruch{150000}{\pi r^4} + \bruch {4000}{r^3} + 4 \pi[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es gilt:
[mm] f(x)=\bruch{25000}{\pi r^2} [/mm] + [mm] \bruch{2000}{r}+ 2\pi (r+25)^2
[/mm]
Daraus folgt:
$f'(x)=0$
Du meinst:
[mm] f(r)=\bruch{25000}{\pi r^2} [/mm] + [mm] \bruch{2000}{r}+ 2\pi (r+25)^2
[/mm]
Deine Ableitungen sind falsch, denn es gilt:
[mm] 2\pi (r+25)^2=2\pi(r^2+50r+25^2)=2\pi r^2+100\pi r+2\pi*25^2
[/mm]
Demnach gilt für die Ableitung nach $r$:
[mm] \frac{d}{dr}2\pi r^2+100\pi r+2\pi*25^2=4\pi r+100\pi
[/mm]
Damit erhält man für die zweite Ableitung der Funktion $f$ nach $r$:
[mm] f'(r)=-\bruch{50000}{\pi r^3} [/mm] - [mm] \bruch {2000}{r^2}+4\pi r+100\pi
[/mm]
Es gilt demnach:
[mm] f''(r)=\bruch{150000}{\pi r^4} [/mm] + [mm] \bruch {4000}{r^3}+4\pi
[/mm]
>
> Weil ich ja die Mateerialmenge minimieren soll suche ich
> also die Nullsteelle der ersten Ableitung. Demnach hab ich
> mit den beiden zuvor genannten Gleichungen das
> Newton-Verfahren laufen lassen und nach 145 Iterationen die
> gewünschte Genauigkeit erhalten.
> Mein Prof hat in seiner Musterlösung Die erste Ableitung
> noch mit [mm]\pi r^3 /4[/mm] multipliziert. So erhält er eine neue
> Funktion die jedoch die gleichen Nullstellen hat:
>
> [mm]g(r) = \pi^2 r^4 + 25 p^2 r^3 - 500 pi r - 1250[/mm]
Guck dir das nun erneut an!
>
> Er hat dann das Newton-Verfahren mit [mm]g(x)[/mm] und [mm]g'(x)[/mm]
> durchgeführt und bereits nach 3 Iterationen eine
> Genauigkeit von 10^-6 Nachkommastellen errechnet.
>
> Auf Nachfrage beim Prof warum mene Vorgehensweise deutlich
> schlechter konvergiert, hat er sich auch gewundert und
> meinte das könnte eigentlich nicht sein, weil das
> Newton-Verfahren invariant gegenüber linearen
> Transformationen ist. Ich bin aber sicher dass meine
> Implementierung stimmt, weil sie in diversen anderen
> Beispielaufgaben immer exakte Ergebnisse berechnet hat.
>
> Könnte mir jemand erklären wie diese unterschiedlichen
> Konvergenzraten zustande kommen?
Ich habe deine Herleitung deiner Funktion $f$ nicht überprüft!
Im Zweifelsfall könntest du von seiner ersten Ableitung auf sein $f$ kommen 
Dazu berechne:
[mm] \frac{4}{\pi}\integral{\frac{g(r)}{r^3} dr}
[/mm]
>
> vielen Dank im Voraus
>
> mfg Beebelbrox
>
>
>
>
Gruß
DieAcht
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Oha, das war wohl ein copy-paste Fehler in der 2. Ableitung. Werde das in der Frage korrigieren. Ich hab grad geschaut, wie ich die Ableitungen im Programm eingegeben habe. Da stimmen sie. Daher bleibt meine eigentliche Frage unbeantwortet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mi 08.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Wenn wir der Musterlösung glauben, dann muss, bis auf einer Konstante, gelten:
[mm] f(r)=\frac{4}{\pi}\integral{\frac{g(r)}{r^3} dr}
[/mm]
Aber das gilt nicht!
Demnach muss deine Funktion $f$, wie folgt anfangen:
[mm] f(r)=\frac{2500}{\pi r^2}+\frac{1000}{r}+\ldots
[/mm]
DieAcht
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Also ich nehme
[mm]g(r) = \pi^2 r^4 + 25 \pi^2 r^3 - 500 \pi r - 12500[/mm]
dann ist
[mm]\bruch {g(r)} {r^3} = \pi^2 r + 25 \pi^2 - 500 \pi r^{-2} - 12500r^{-3}[/mm]
und berechne:
[mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{}^{}{\bruch {g(r)}{r^3} dr} = \bruch {4}{\pi}\left [ \bruch{\pi^2}{2} r^2 +25 \pi^2 r + 500 \pi r^{-1} + \bruch{12500}{2}r^{-2} + C_{1} \right ][/mm]
[mm]= 2 \pi r^2 + 100\pi r + \bruch {2000}{r} + \bruch{25000}{\pi r^{2}} + {C_{2}}[/mm]
[mm]=
\bruch{25000}{\pi r^{2}} +
\bruch {2000}{r} +
2\pi(r^2 + 50r + C_{3})
[/mm]
mit [mm]C_{3} = 25^2[/mm] ergibt das dann:
[mm]=
\bruch{25000}{\pi r^{2}} +
\bruch {2000}{r} +
2\pi(r+25)^2 = f(r)
[/mm]
wo ist also das Problem ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
auf den Schreibfehler bzgl x und r hat die8 schon hingewiesen.
Weitere Schreibfehler sind :
1. die letzte Potenz 2 bei f', was du aber bei f'' ja wieder korrigiert hast. Hoffentlich hast du den Schreibfehler nicht auch bei deinem Newton-Verfahren benutzt.
2. es fehlt ein Faktor 10 im letzten Summanden bei g.
Drei weitere Bemerkungen :
1. Bei mir konvergieren beide (in obigem Sinne korrigierten) Versionen gleich schnell.
2. Deine Funktion (und damit auch die des Professors) stimmt nicht mit der Aufgabenstellung überein, wenn der Überstand 0,25 cm und das Volumen 1000 [mm] cm^3 [/mm] sein sollen. Wenn man r in cm misst, muss es z.B. in der Klammer von f heißen : [mm] (r+0,25)^2, [/mm] weitere Anpassungen sind erforderlich.
3.
> Er hat dann das Newton-Verfahren mit [mm] g(x)[/mm] und
> [mm]g'(x)[/mm] durchgeführt und bereits nach 3 Iterationen eine
> Genauigkeit von 10^-6 Nachkommastellen errechnet.
Das sind ziemlich viele Iterationen für ziemlich wenige Nachkommastellen.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Beebelbrox |
lol; 10^-6 Nachkommastellen sind wohl wirklich etwas wenig.
Ich meinte wohl vielmehr 6 Nachkommastellen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mi 08.01.2014 | | Autor: | Beebelbrox |
OK, ich hab mir meine eingaben noch mal Zeichen für zeichen vorgenommen un siehe da, ich habe tatsächlich einen vorzeichenfehler bei der Eingabe der zweiten Ableitung gemacht.
vielen Dank für die Hilfe!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
