Newton Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 12.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo.
Ich habe mal wieder ein Problem:
Seien [mm] x_0 \in \IR^n, [/mm] r>0. Sei [mm] B(x_0,r):= [/mm] { [mm] x\in\IR^n: \parallel x-x_0 \parallel [/mm] <r }.
Sei f: [mm] B(x_0,r) \to \IR^n [/mm] differenzierbar.
Sei [mm] \alpha>0 [/mm] mit [mm] \parallel f'(x)-f'(y)\parallel \le \alpha \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] und somit [mm] \parallel [/mm] f(x)-f(y)-f'(y)(x-y) [mm] \parallel \le \alpha \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel^2 [/mm] für alle x,y [mm] \in B(x_0,r).
[/mm]
Es gelte weiterhin:
a) [mm] f(x_0)=0
[/mm]
b) für [mm] x\in B(x_0,r) [/mm] ist f'(x) invertierbar und es existiert ein [mm] \beta>0 [/mm] so, dass für alle [mm] y\in B(x_0,r) [/mm] gilt [mm] \parallel [f'(x)]^{-1} \parallel \le \beta
[/mm]
[mm] c)\alpha*\beta*r<1.
[/mm]
Jetzt soll ich zeigen, dass durch [mm] T(x)=x-[f'(x)]^{-1}(f(x)) [/mm] eine Funktion von [mm] B(x_0,r) [/mm] nach [mm] B(x_0,r) [/mm] definiert wird und dass für alle [mm] x\in B(x_0,r) [/mm] und [mm] k\in \IN [/mm] gilt:
[mm] \parallel T^k(x)-x_0 \parallel \le (\alpha \beta)^{2^k-1} \parallel x-x_0 \parallel^{2^k}.
[/mm]
Dabei ist [mm] T^{k+1}(x):=T(T^k(x)) [/mm] iterativ definiert.
Den Beweis, dass es sich um eine Funktion handelt, schaffe ich glaube ich. Kann ich da nicht einfach argumentieren, dass das gilt, weil f eine Funktion und f'(x) invertierbar ist??? Aber leider bekomme ich schon beim Bildbereich von T ein Problem. Klappt diese Abschätzung so in etwa:
[mm] \parallel [/mm] x- [mm] [f'(x)]^{-1}(f(x))-x_0 \parallel \le \parallel x-x_0 \parallel [/mm] + [mm] \parallel -[f'(x)]^{-1}(f(x)) \parallel [/mm] < r + [mm] \parallel -[f'(x)]^{-1}(f(x)) \parallel \le [/mm] r + (- [mm] \beta) [/mm] < r
Wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte, da ich keine Ahnung habe, wie ich auch nur einen Ansatz finden soll. Mit Induktion? Aber da scheitere ich schon bei der Verankerung.
Brauche also dringend Hilfe.
Gruß, San
|
|
| |
|
Hallo San,
Du sollst also zunächst zeigen das die Abbildung von [mm] B(x_0,r) [/mm] nach [mm] B(x_0,r) [/mm] abbildet anders ausgedrückt:
[mm]||x-x_0||
Deine Abschätzung funktioniert nicht da Du ja über die Norm von f(x) nichts weist.
[mm]||x-f'(x)^{-1}f(x)-x_0||
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm]||f'(x)^{-1}||*||-f(x)+f'(x)(x-x_0)||
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]||f'(x)^{-1}||*||f(x_0)-f(x)-f'(x)(x_0-x)||
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm]||f'(x)^{-1}||*\alpha||x_0-x||^2
[mm] \Leftarrow
[/mm]
[mm]\beta\alpha r<1[/mm]
Alles klar?
Vielleicht nützt Dir das auch etwas für den Beweis der 2. Gleichung.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Sa 14.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank. Habe zwar schon das falsche abgegeben, aber wenigstens hat sich jetzt das Verständnis eingestellt:)
'Gruß, San
|
|
|
|
