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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:12 Sa 09.01.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem
[mm] 0=x_1 x_2
[/mm]
[mm] 0=x_1x_2^2 [/mm] + [mm] x_1 -x_2
[/mm]
Ist das 2-dimensionale Newton-Verfahren bzgl. dieses Systems lokal konvergent? Warum?
Berechnen Sie eine Lösung mit Hilfe des 2-dimensionalen newton-Verfahrens für einen Startwert ihrer Wahl in in Matlab. |
Hallo zusammen,
Ich hab die Frage bereits bei matheplanet vor einer Woche gestellt unter 2-dim Newtonverfahren, Konvergenz? in Unterforum Numerik.
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=214885&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.at
1)
Wir hatten einen Satz, wann das mehrfachdimensionale Newtonverfahren lokal konvergent ist. Nämlich wenn die Funktion steig differenzierbar ist, eine Art Lipschitzbedingung erfüllt und die Jacobimatrix im Nullpunkt von F invertierbar ist.
Hier das Problem:
F: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2
[/mm]
[mm] F=(f_1, f_2)^t
[/mm]
[mm] f_1(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )=x_1*x_2
[/mm]
[mm] f_2(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )=x_1 x_2^2+x_1-x_2
[/mm]
[mm] F'(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} x_2 & x_1 \\ x_2^2+1 & 2x_2*x_1-1 \end{pmatrix} [/mm]
Jacobimatrix invertierbar für [mm] x_1x_2^2 -x_2-x_1 \not=0, [/mm] deshalb auch das verfahren nur für diese [mm] x_1, x_2 [/mm] wohldefiniert.
Die Inverse der Jacobimatrix ist: [mm] F'(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )^{-1}=\frac{1}{x_1x_2^2 - x_2-x_1} \begin{pmatrix} 2x_2*x_1-1 & -x_1 \\ -x_2^2-1 & x_2 \end{pmatrix} [/mm]
Nun wäre aber für die offensitliche Lösung (0,0) des nichtlinearen Gleichungssystems die Jacomatrix nicht invetierbar:
[mm] F'(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} )=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} [/mm] also die Grundbedingung gar nicht erfüllt.
2)
Ich hätte deshalb auch einen anderen Versuch indem ich F als Fixpunktgleichung umforme:
Aus der zweiten [mm] Gleichung:x_2= x_1 (x_2^2 [/mm] +1)
und 0= [mm] x_1 [/mm] * [mm] x_2 *x_2 [/mm] + [mm] x_1 -x_2=0*x_2+x_1-x_2=x_1-x_2 \Rightarrow x_1=x_2
[/mm]
[mm] \phi(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} \phi_1(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}) \\ \phi_2(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 (x_2^2 +1) \end{pmatrix}
[/mm]
Die Jacobimatrix:
[mm] \phi'(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0& 1 \\ x_2^2+1 & 2*x_2*x_1 \end{pmatrix} [/mm]
Um einen Satz zu verwenden der besagt, dass die Fixpunktiteration lokal konvergiert müsste ich zeigen können, dass [mm] ||\phi'(x^{\*})||<1 [/mm] für eine Matrixnorm die veträglich ist mit einer Vektornorm und der Lösung der Fixpunktiteration [mm] x^{\*}.
[/mm]
Die 1er machen dass aber glaub ich kapput für [mm] x^{\*}=(0,0)
[/mm]
Ich habe auch ein Programm geschrieben, dass für die Startwerte (1/2,1/2) die Lösung (1.0e-15 *0.1091,1.0e-15 *0.1091) in 52 Iterationsschitten liefert...
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 11.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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