Newtonverfahren zu f(x)=x^x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Fr 12.05.2006 | | Autor: | GabiM |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die erste Ableitung für [mm] f=x^x [/mm] habe ich über f = exp(x*lnx) ermittelt zu
f' = [mm] x^x [/mm] * (1+lnx)
Wenn ich das ins Newtonverfahren
x = x - f(x) / f'(x) = x - 1/(1+lnx) = (lnf + x -1)/(1+lnx)
eintrage, konvergiert die Funktion überhaupt nicht. Aber ich habe in einem fremden Programm gesehen, dass das Ganze ohne die -1 richtig sein muss und dann wunderbar konvergiert. Also
x=(lnf + x)/(1+lnx)
ist die ideale Lösungsvorschrift, und das wurde als Newtonverfahren bezeichnet.
Ich suche jetzt meinen Rechenfehler. Kann mir bitte jemand auf die 'Sprünge' helfen ?
MfG GabiM
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: zip) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: htm) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Sa 13.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo GABI,
hab mir auch mal Gedanken über deine Aufgabe gemacht!
> x = x - f(x) / f'(x) = x - 1/(1+lnx)
Bis dahin stimm ich ohne Probleme mit dir überein, doch wie hast du anschließend vereinfacht, und die frage ist, ob diese Funktion überhaupt Nullstellen hat
mfg Krisu112
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 13.05.2006 | | Autor: | GabiM |
Das Newtonverfahren ist eine iterative Lösungsvorschrift.
Es soll aus einem bekannten Wert f das zugehörige x ausgerechnet werden, also die iterative Lösung von der Umkehrung von [mm] f=x^x [/mm] .
Ich hätte Indizes einfügen müssen.
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] x_{i-1} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{i-1} )}{f'(x_{i-1} )}
[/mm]
Beim nächsten Schritt hatte ich nur das [mm] x_{i-1} [/mm] mit dem Nenner (1+lnx) erweitert, damit es ein gemeinsamer Nenner wird.
Ich weiß einfach nicht, warum die -1 am Schluss nicht mehr hineingehört ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:44 Sa 13.05.2006 | | Autor: | krisu112 |
Hallo Gabi,
das lässt mir jetzt keine Ruhe!
meine letzte Zeile, ich hoffe wie deine vereinfacht:
[mm] \bruch{x*ln(x)+x-1}{ln(x)+1}
[/mm]
Bist du denn ganz sicher, dass das mit dem Minus stimmt, weil ich glaub hier enden sonst meine MAthekenntnisse
Vielleicht haben wir falsch abgeleitet?
sorry
mfg Krisu112
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Sa 13.05.2006 | | Autor: | GabiM |
Ich habe oben im Artikel einen Dateianhang hochgeladen (zip-Datei). Mit dem Script kann man die Iterationen starten und als Liste ansehen.
Da kannst Du Dir im Quelltext bei Zeile 115 die Gleichung selber ändern und sehen, dass dann die Konvergenz futsch ist, wenn die -1 wieder eingefügt ist.
Wenn es NICHT das Newtonverfahren ist, dann liegt das an Kellers Expression und ist eine Sonderlösung für [mm] x^x.
[/mm]
MfG
Gabi
(gehe aber jetzt schlafen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 13.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gabi
Du willst doch das Newtonverf. benutzen, um einen Wert der Umkehrfkt zu berechnen! Also du suchst ein x sodass [mm] x^{x}=a [/mm] ist.
Das ist dasselbe, wie die Nullstelle der Funktion [mm] f=(x^{x}-a [/mm] ) zu suchen. Dann ist deine fkt, die in das NV eingeht aber nicht [mm] x^{x} [/mm] sondern eben [mm] x^{x}-a.
[/mm]
Ich vermute dass das angegebene Verfahren, das funktioniert, a=1 hat.
Dein Verfahren sucht die Stelle [mm] x^{x}=0, [/mm] die es nicht gibt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Sa 13.05.2006 | | Autor: | GabiM |
Die vorgegebene Zahl ist doch beliebig groß und nicht gleich 1.
Es kann ja sein, dass ich das Newtonverfahren falsch verstanden habe und man so vorgehen muss. Doch die Iteration funktioniert auch gut bei großen Zahlen, mit Sicherheit für a>e . Mir reicht die Erklärung noch nicht.
Muss da der Anfangswert für x gleich 1 sein ?
Was hat der mit den Nullstellen zu tun ?
Editierung 2:20 Uhr:
Hab's begriffen. Das a ist nicht 1, es wird gekürzt gegen den Faktor [mm] x^x [/mm] aus der Ableitung, und DANN ist es 1.
Vielen Dank !
Hoffentlich kann ich die Frage jetzt wieder löschen ....
MfG
Gabi
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