Nicht eindeutig lösbare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | [mm] $\frac{dx}{dt}=2x(1-x), x_0 \in \IR$
[/mm]
Bestimmen Sie die Lösung der DGL in Abhängigkeit vom Anfangswert [mm] $x_0$ [/mm] |
Hallo Leute,
irgendwie habe ich bei diesem Thema ein Knoten im Hirn. Mir ist klar, wie man die Lösung bestimmt und ich erhalte:
[mm] $x(t)=\frac{e^{2t}}{e^{2t}+K}$
[/mm]
Weitere Lösungen sind ja offentsichtlich noch die Ruhelagen $x(t)=0$ und $x(t)=1$. Sprich die DGL ist nicht eindeutig lösbar und ist abhängig vom Anfangswert [mm] $x_0$. [/mm] Wie genau gehe ich nun vor? Ich muss ja eine Fallunterscheidung machen, wann die erste Lösung eintritt, wann die zweite und wann die dritte, könnte mir da jemand kurz auf die Sprünge helfen? Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> [mm]\frac{dx}{dt}=2x(1-x), x_0 \in \IR[/mm]
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> Bestimmen Sie die Lösung der DGL in Abhängigkeit vom
> Anfangswert [mm]x_0[/mm]
> Hallo Leute,
>
> irgendwie habe ich bei diesem Thema ein Knoten im Hirn. Mir
> ist klar, wie man die Lösung bestimmt und ich erhalte:
>
> [mm]x(t)=\frac{e^{2t}}{e^{2t}+K}[/mm]
>
> Weitere Lösungen sind ja offentsichtlich noch die
> Ruhelagen [mm]x(t)=0[/mm] und [mm]x(t)=1[/mm]. Sprich die DGL ist nicht
> eindeutig lösbar und ist abhängig vom Anfangswert [mm]x_0[/mm].
> Wie genau gehe ich nun vor? Ich muss ja eine
> Fallunterscheidung machen, wann die erste Lösung eintritt,
> wann die zweite und wann die dritte, könnte mir da jemand
> kurz auf die Sprünge helfen? Danke schonmal!
Für die Anfangswerte [mm]x_{0}=0[/mm] bzw. [mm]x_{0}=1[/mm]
sind auch [mm]x\left(t\right)=0[/mm] bzw. [mm]x\left(t\right)=1[/mm] Lösungen der DGL.
Für alle anderen Anfangswerte ist die angegebene Lösung maßgebend.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
Ja, stimmt, danke, habe gedacht, das wäre ähnlich wie mein eigentliches Problem, was folgendes ist:
In meinem Skript steht folgende DGL:
mit
Die Lösung ist ja:
Da hier keine stetige Differenzierbarkeit vorliegt, gibt es mehrere Lösungen ($x(t)=0$), abhängig von der Integrationskanstanten:
Habe jetzt zwei Fragen dazu:
1. Wie erkenne ich die einzelnen Fälle?
2. Wenn ich nun beispielweise und wähle, erhalte ich ja:
Wenn ich nun als Anfangswert wähle, erhalte ich durch Berechnung , was ja auch mit der Lösung oben übereinstimmt, aber wenn ich nun wähle, was zwischen 0 und 1 liegt, erhalte ich:
Was also nicht meiner Lösung von oben entspricht, was genau mache ich falsch?
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Hallo AntonK,
> Ja, stimmt, danke, habe gedacht, das wäre ähnlich wie
> mein eigentliches Problem, was folgendes ist:
>
> In meinem Skript steht folgende DGL:
>
> mit
>
> Die Lösung ist ja:
>
>
>
> Da hier keine stetige Differenzierbarkeit vorliegt, gibt es
> mehrere Lösungen ([mm]x(t)=0[/mm]), abhängig von der
> Integrationskanstanten:
>
Die obige Lösung ist doch stetig differenzierbar.
>
>
> Habe jetzt zwei Fragen dazu:
>
> 1. Wie erkenne ich die einzelnen Fälle?
> 2. Wenn ich nun beispielweise und wähle, erhalte
> ich ja:
>
>
>
>
> Wenn ich nun als Anfangswert wähle, erhalte ich
> durch Berechnung , was ja auch mit der Lösung
> oben übereinstimmt, aber wenn ich nun
> wähle, was zwischen 0 und 1 liegt, erhalte ich:
>
>
>
> Was also nicht meiner Lösung von oben entspricht, was
> genau mache ich falsch?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
Die Ableitung der Funktion ist doch aber in der Null nicht definiert. Sprich es gibt keine eindeutige Lösung. Wie dem auch sei, wie erhalte ich denn diese Fallunterscheidung überhaupt?
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Hallo AntonK,
> Die Ableitung der Funktion ist doch aber in der Null nicht
> definiert. Sprich es gibt keine eindeutige Lösung. Wie dem
> auch sei, wie erhalte ich denn diese Fallunterscheidung
> überhaupt?
Ich glaube, da hast Du etwas falsch verstanden.
Die Lösung einer DGL soll für einen Anfangswert eindeutig sein.
Und diese DGL ist für diesen Anfangswert eindeutig.
Beispiel:
Die DGL
[mm]y'=\wurzel{\vmat{y}}, \ D=\IR^{2}[/mm]
hat für jedes Anfangswertproblem unendliche viele Lösungen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
Okay, dann müsste ich ja dort eine Fallunterscheidung machen, lass es mich mal probieren:
[mm] $\frac{dx}{dt}=\sqrt{|x|}$
[/mm]
[mm] $\int^{x} \frac{1}{\sqrt{|x'|}}dx'=\int^{t}1dt'$
[/mm]
[mm] $2*sgn(x)*\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2$
[/mm]
[mm] $|x|=(0.5t+C_3)^2$
[/mm]
[mm] $x(t)=\pm (0.5t+C_3)^2$
[/mm]
Wieso gibt es nun unendlich viele Lösungen? Wenn ich z.B. als Anfangswert $x(0)=-1$ einsetze, erhalte ich [mm] $C_3= \pm [/mm] 1$ Das wären doch dann genau zwei Lösungen oder was übersehe ich dabei?
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Hallo AntonK,
> Okay, dann müsste ich ja dort eine Fallunterscheidung
> machen, lass es mich mal probieren:
>
> [mm]\frac{dx}{dt}=\sqrt{|x|}[/mm]
>
> [mm]\int^{x} \frac{1}{\sqrt{|x'|}}dx'=\int^{t}1dt'[/mm]
>
> [mm]2*sgn(x)*\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2[/mm]
> [mm]|x|=(0.5t+C_3)^2[/mm]
>
> [mm]x(t)=\pm (0.5t+C_3)^2[/mm]
>
> Wieso gibt es nun unendlich viele Lösungen? Wenn ich z.B.
> als Anfangswert [mm]x(0)=-1[/mm] einsetze, erhalte ich [mm]C_3= \pm 1[/mm]
> Das wären doch dann genau zwei Lösungen oder was
> übersehe ich dabei?
Die Lösung gilt aber nicht auf ganz [mm]\IR[/mm].
Dies ist aber gefordert.
Ausgehend von dieser Gleichung:
[mm]2*sgn(x)*\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2[/mm]
Für x < 0, wie bei dem gegebenem Anfangswert gefordert, gilt:
[mm]-2*\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2[/mm]
Daraus ergibt sich ein Definitionsbereich für t:
[mm]t \in \left(-\infty, \ -C_{3}\right), \ C_{3} \in \IR[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
Warum gilt die Lösung nicht auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] und wie kommt man auf diesen Definitionsbereich?
https://de.wikipedia.org/wiki/Anfangswertproblem
In dem Beispiel kommt ja genau das vor, wie kommt man auf diese Fallunterscheidung, ich schnall das einfach nicht, das $c$ dort ist doch die Konstante oder nicht?
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Hallo AntonK,
> Warum gilt die Lösung nicht auf ganz [mm]\IR[/mm] und wie kommt man
> auf diesen Definitionsbereich?
>
Betrachte dazu die Gleichung
[mm] 2\cdot{}sgn(x)\cdot{}\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2[/mm]
Dann hast Du einen Anfangswert x(0)=-1,
d.h. die Gleichung
[mm]-2\cdot{}\sqrt{|x|}+C_1=t+C_2[/mm]
muss für alle [mm]t \in \IR[/mm] erfüllt werden.
Weiterhin gilt dann
[mm]t+C_{3} < 0, \ C_{3} \in \IR[/mm], da
[mm]-2\cdot{}\sqrt{|x|} < 0[/mm]
Daraus folgt dann der Definitionsbereich für t.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Anfangswertproblem
>
> In dem Beispiel kommt ja genau das vor, wie kommt man auf
> diese Fallunterscheidung, ich schnall das einfach nicht,
> das [mm]c[/mm] dort ist doch die Konstante oder nicht?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 12.07.2015 | | Autor: | AntonK |
Ja, das sehe ich ein, wie baue ich nun aber eine Fallunterscheidung auf? Das Beispiel verwirrt mich gerade noch etwas zu sehr, weswegen, ich gerne nochmal zu dem hier zurückkommen würde:
$ [mm] \frac{dx}{dt} [/mm] = [mm] 3x^{\frac{2}{3}} [/mm] $ mit $x(0)=0$
Lösung war ja: $ [mm] x(t)=(t+K)^3 [/mm] $
Was ich nun einsehe ist, ich habe für meinen gegebenen Anfangswert eine weitere Lösung und zwar $x(t)=0$. In unserem Skript steht, dass er hierfür unendlich viele Lösungen gibt, das sehe ich ein, denn $x(2)=0$ oder $x(3)=0$ ist ja ebenfalls eine Lösung.
Als Lösung wurde dort folgendes aufgeführt:
$ [mm] x_{a,b}(t)=\begin{cases} (t+b)^3, \qquad t \le -b \\ 0, \qquad \qquad -b \le t \le a \\ (t-a)^3, \qquad t \ge a \end{cases} [/mm] $
Meine große Frage ist, wie kommt diese Unterscheidung zustande, was ich jetzt gemacht hätte wäre ganz einfach $x(t)=0$ einzusetzen, damit würde ich erhalten:
[mm] $0=(t+K)^3 \rightarrow [/mm] t=-K$
Ich würde also die Fälle $t [mm] \le [/mm] -K$ und $t [mm] \ge [/mm] -K$ betrachten, die genau den Fällen 1 und 3 oben entsprechen.
Warum muss ich denn noch zwischen $a$ und $b$ schauen, wieso ist die Funktion dort 0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 14.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das sehe ich ein, wie baue ich nun aber eine
> Fallunterscheidung auf? Das Beispiel verwirrt mich gerade
> noch etwas zu sehr, weswegen, ich gerne nochmal zu dem hier
> zurückkommen würde:
>
> [mm]\frac{dx}{dt} = 3x^{\frac{2}{3}}[/mm] mit [mm]x(0)=0[/mm]
>
> Lösung war ja: [mm]x(t)=(t+K)^3[/mm]
Das ist eine Lösung der DGL (von vielen). Hieraus bekommst Du eine Lösung des Anfangswertproblems:
x(0)=0 [mm] \gdw K^3=0 \gdw [/mm] K=0,
also [mm] x(t)=t^3. [/mm] Das ist eine Lösung des AWPs (von vielen).
>
> Was ich nun einsehe ist, ich habe für meinen gegebenen
> Anfangswert eine weitere Lösung und zwar [mm]x(t)=0[/mm].
So ist es.
> In
> unserem Skript steht, dass er hierfür unendlich viele
> Lösungen gibt,
Auch das stimmt.
> das sehe ich ein, denn [mm]x(2)=0[/mm] oder [mm]x(3)=0[/mm]
> ist ja ebenfalls eine Lösung.
Hä ???? Das verstehe ich nicht. Die Anfangsbed. lautet x(0)=0.
>
> Als Lösung wurde dort folgendes aufgeführt:
>
> [mm]x_{a,b}(t)=\begin{cases} (t+b)^3, \qquad t \le -b \\ 0, \qquad \qquad -b \le t \le a \\ (t-a)^3, \qquad t \ge a \end{cases}[/mm]
>
> Meine große Frage ist, wie kommt diese Unterscheidung
> zustande, was ich jetzt gemacht hätte wäre ganz einfach
> [mm]x(t)=0[/mm] einzusetzen,
Hä ? Warum ??
> damit würde ich erhalten:
>
> [mm]0=(t+K)^3 \rightarrow t=-K[/mm]
>
> Ich würde also die Fälle [mm]t \le -K[/mm] und [mm]t \ge -K[/mm]
> betrachten,
Was das soll, bleibt mir ein Rätsel !
> die genau den Fällen 1 und 3 oben
> entsprechen.
>
> Warum muss ich denn noch zwischen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] schauen, wieso
> ist die Funktion dort 0?
Ich nehme an, dass a und b [mm] \ge [/mm] 0 sind. Es ist leicht zu sehen, dass für jede Wahl von a,b [mm] \ge [/mm] 0 die Funktion
[mm] x_{a,b} [/mm] eine Lösung des AWPs $ [mm] \frac{dx}{dt} [/mm] = [mm] 3x^{\frac{2}{3}} [/mm] $, $ x(0)=0 $
ist.
Für a=b=0 erhält man die Lösung [mm] x(t)=t^3. [/mm] Für andere Werte von a und b bekommt man weitere Lösungen des AWPs.
FRED
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