Nichtkommutativität von H < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Robbe007 |
| Aufgabe | | Es gibt kubische Polynome über H, zb [mm] x^2ixi+ix^2ix-ixix^2-xix^2i, [/mm] die von allen Quaternionen annuliert werden. |
Also ich soll die Aussage beweisen und weiß nicht so genau was das heißt? Ich weiß das jede Quaternion der Gleichung [mm] x^2= \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e genügt. Wenn ich jetzt für [mm] x^2 [/mm] im obigen Polynom [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e einsetze soll wohl die behauptung folgen.
leider sehe ich das nicht wenn ich das einsetzte. Heißt annuliert das das Polynom null wird? Das sich da alles wegkürzt sehe ich ja aber da H nicht kommutativ ist darf man das ja nicht wegkürzen da zb. x^2ixi [mm] \not= ixix^2
[/mm]
kann mir da jemand bitte helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:23 Sa 20.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es gibt kubische Polynome über H, zb
> [mm]x^2ixi+ix^2ix-ixix^2-xix^2i,[/mm] die von allen Quaternionen
> annuliert werden.
>
> Also ich soll die Aussage beweisen und weiß nicht so
> genau was das heißt? Ich weiß das jede Quaternion der
> Gleichung [mm]x^2= \alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] e genügt. Wenn ich jetzt
> für [mm]x^2[/mm] im obigen Polynom [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] e einsetze soll
> wohl die behauptung folgen.
Hast du es mal getan? Was kommt bei dir heraus?
> leider sehe ich das nicht wenn ich das einsetzte. Heißt
> annuliert das das Polynom null wird?
Exakt.
> Das sich da alles
> wegkürzt sehe ich ja aber da H nicht kommutativ ist darf
> man das ja nicht wegkürzen da zb. x^2ixi [mm]\not= ixix^2[/mm]
Klar, du musst aufpassen, da es nicht kommutativ ist. So einfach kuerzt sich da also nichts weg.
Also. Setz mal das von oben ein. Was kommt heraus? Beachte, dass du Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] mit anderen vertauschen kannst in einem Produkt.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 So 21.11.2010 | | Autor: | Robbe007 |
vielen dank für deine Hilfe erstmal =)
Also wenn ich das einsetze hab ich das raus:
( [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e)ixi+i( [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e)ix-ixi( [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e)-xi( [mm] \alpha [/mm] x+ [mm] \beta [/mm] e)i, wenn ich es ausklammer bekomm ich also:
[mm] \alpha [/mm] xixi+ [mm] \beta [/mm] ixi + i [mm] \alpha [/mm] xix + i [mm] \beta [/mm] ix - ixi [mm] \alpha [/mm] x -ixi [mm] \beta [/mm] - xi [mm] \alpha [/mm] xi - xi [mm] \beta [/mm] i
so und jetzt darf ich zb. beim zweiten therm das [mm] \beta [/mm] nach hinten stellen und dann kürzt sich das mit dem -ixi [mm] \beta [/mm] weg? ist das so richtig? wieso darf ich das denn?
und was sagt die aussage denn aus dass man polynome durch quaternionen annulieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> vielen dank für deine Hilfe erstmal =)
Bitte :)
> Also wenn ich das einsetze hab ich das raus:
>
> ( [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] e)ixi+i( [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] e)ix-ixi( [mm]\alpha[/mm]
> x+ [mm]\beta[/mm] e)-xi( [mm]\alpha[/mm] x+ [mm]\beta[/mm] e)i, wenn ich es ausklammer
> bekomm ich also:
>
> [mm]\alpha[/mm] xixi+ [mm]\beta[/mm] ixi + i [mm]\alpha[/mm] xix + i [mm]\beta[/mm] ix - ixi
> [mm]\alpha[/mm] x -ixi [mm]\beta[/mm] - xi [mm]\alpha[/mm] xi - xi [mm]\beta[/mm] i
>
>
> so und jetzt darf ich zb. beim zweiten therm das [mm]\beta[/mm] nach
> hinten stellen und dann kürzt sich das mit dem -ixi [mm]\beta[/mm]
> weg? ist das so richtig? wieso darf ich das denn?
Ja, das darfst du. Schliesslich ist [mm] $\beta$ [/mm] ein Element aus [mm] $\IR$.
[/mm]
Du kannst schnell nachrechnen, dass $(a + b i + c j + d k) [mm] (\beta [/mm] + 0 i + 0 j + 0 k) = [mm] (\beta [/mm] + 0 i + 0 j + 0 k) (a + b i + c j + d k)$ ist mit $a, b, c, d, [mm] \beta \in \IR$.
[/mm]
> und was sagt die aussage denn aus dass man polynome durch
> quaternionen annulieren kann?
Ueber einem unendlichen kommutativen Koerper gibt es kein Polynom ausser dem Nullpolynom, welches alle Elemente annuliert. Das kann nur passieren, wenn es a) nicht kommutativ ist, b) nicht unendlich ist, oder c) es kein Koerper ist.
Das hier ist also ein Beispiel fuer a).
Beispiele fuer b) und c) hast du evtl. schon in der Vorlesung gesehen bzw. sie kommen spaeter.
LG Felix
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