Niveaulinien, Gradient < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:13 So 20.11.2011 | | Autor: | thadod |
Sehr geehrter MatheRaum,
Leider habe ich ein kleines Problem mit der Darstellung folgender Aufgabe:
Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] durch
(x,y) [mm] \mapsto f(x,y)=\begin{cases} |(x,y)|^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Fertige eine Skizze zu den Niveualinien [mm] N_t(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = t \} [/mm] für die Werte t [mm] \in \{1,4,9\} [/mm] an. Berechne außerdem den Gradienten von f für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] und trage ihn für die Punkte [mm] P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] in ihre Skizze ein...
Nun zu meinem Problem:
Niveaulinien an sich sind mir bekannt und damit hatte ich bisher auch keine großen Schwierigkeiten. Beim Gradienten ist es genauso.
Was mir nun allerdings leider Schwierigkeiten bereitet ist die Schreibweise der gegeben Funktionen [mm] |(x,y)|^2 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0, [mm] y^2 [/mm] für x < 0
Ich habe mir das nun zunächst umgeschrieben in [mm] |x|^2, |y|^2 [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0, [mm] y^2 [/mm] für x < 0.
Ich wollte nun für beliebeige x [mm] \ge [/mm] 0 und für beliebeige x < 0 die Niveaulinien anfertigen.
Angefangen mit z.B. x=0 und t=1. Wodurch sich folgendes ergibt:
[mm] |x|^2=1 [/mm] für x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0=1
[mm] |y|^2=1
[/mm]
Bzw. für z.B. x=-1 und t=1. Wodurch sich folgendes ergibt:
[mm] y^2=1
[/mm]
Bevor ich das ganze nun skizziere, wollte ich fragen, ob ich damit überhaupt auf dem richtigen weg oder doch eher auf dem Holzweg liege.
hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen und mir irgendwie weiterhelfen...
mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 21.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo thadod,
> Sehr geehrter MatheRaum,
>
> Leider habe ich ein kleines Problem mit der Darstellung
> folgender Aufgabe:
>
> Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> durch
>
> (x,y) [mm]\mapsto f(x,y)=\begin{cases} |(x,y)|^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Fertige eine Skizze zu den Niveualinien [mm]N_t(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = t \}[/mm]
> für die Werte t [mm]\in \{1,4,9\}[/mm] an. Berechne außerdem den
> Gradienten von f für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] und trage ihn für
> die Punkte [mm]P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
> in ihre Skizze ein...
>
> Nun zu meinem Problem:
>
> Niveaulinien an sich sind mir bekannt und damit hatte ich
> bisher auch keine großen Schwierigkeiten. Beim Gradienten
> ist es genauso.
>
> Was mir nun allerdings leider Schwierigkeiten bereitet ist
> die Schreibweise der gegeben Funktionen [mm]|(x,y)|^2[/mm] für x
> [mm]\ge[/mm] 0, [mm]y^2[/mm] für x < 0
>
> Ich habe mir das nun zunächst umgeschrieben in [mm]|x|^2, |y|^2[/mm]
> für x [mm]\ge[/mm] 0, [mm]y^2[/mm] für x < 0.
> Ich wollte nun für beliebeige x [mm]\ge[/mm] 0 und für beliebeige
> x < 0 die Niveaulinien anfertigen.
Ich interpretiere $|(x,y)|$ als euklidische Norm oder Länge von (x,y),
also $|(x,y)| = [mm] \wurzel{x^2+y^2}$.
[/mm]
Damit ist [mm] $|(x,y)|^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2$.
[/mm]
>
> Angefangen mit z.B. x=0 und t=1. Wodurch sich folgendes
> ergibt:
>
> [mm]|x|^2=1[/mm] für x=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0=1
> [mm]|y|^2=1[/mm]
>
> Bzw. für z.B. x=-1 und t=1. Wodurch sich folgendes
> ergibt:
> [mm]y^2=1[/mm]
>
> Bevor ich das ganze nun skizziere, wollte ich fragen, ob
> ich damit überhaupt auf dem richtigen weg oder doch eher
> auf dem Holzweg liege.
Das ergibt für $x [mm] \ge [/mm] 0$ Halbkreise, die für x < 0 in Geraden fortgesetzt werden.
>
> hoffe ihr könnt mein Problem nachvollziehen und mir
> irgendwie weiterhelfen...
>
> mfg thadod
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mo 21.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für die Unterstützung...
Es geht wie bereits oben erläutert um folgende Aufgabe:
Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] durch
(x,y) [mm] \mapsto f(x,y)=\begin{cases} |(x,y)|^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Fertige eine Skizze zu den Niveualinien [mm] N_t(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = t \} [/mm] für die Werte t [mm] \in \{1,4,9\} [/mm] an.
Berechne außerdem den Gradienten von f für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] und trage ihn für die Punkte [mm] P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] in die Skizze ein...
Mit Hilfe von meili konnten wir nun klären, dass es sich bei [mm] |(x,y)|^2 [/mm] um den euklidischen Raum handelt.
Es ergibt sich somit: [mm] |(x,y)|^2=\wurzel{x^2+y^2} \Rightarrow |(x,y)|^2=x^2+y^2
[/mm]
Ich schreibe daher nun folgendes:
Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] durch
(x,y) [mm] \mapsto f(x,y)=\begin{cases} x^2+y^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Und somit folgende Skizze für folgende Niveaulinien:
für x [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] N_1(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 1 \}
[/mm]
[mm] N_4(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 4 \},
[/mm]
[mm] N_9(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 9 \}
[/mm]
für x < 0:
[mm] N_1(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 1 \}
[/mm]
[mm] N_4(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 4 \}
[/mm]
[mm] N_9(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 9 \}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann wollte ich nun zum Gradienten kommen. Für den Gradienten gilt ja bekanntlich:
Gradient zeigt immer in die Richtung des steilsten Anstiegs, was ja noch wichtig ist, um ihn später in meine Skizze einzuzeichnen...
Es ergibt sich somit folgender Gradient, für den Fall, dass x [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] grad_{\vec{x}}T=\pmat{ 2x \\ 2y }
[/mm]
und für die Punkte [mm] P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}):
[/mm]
[mm] grad_{P_1}T=\pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] grad_{P_2}T=\pmat{ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] grad_{P_3}T=\pmat{ 1 \\ 9 }
[/mm]
[mm] grad_{P_4}T=\pmat{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} }
[/mm]
Es ergibt sich somit folgender Gradient, für den Fall, dass x<0:
[mm] grad_{\vec{x}}T=\pmat{ 0 \\ 2y }
[/mm]
und für die Punkte [mm] P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}):
[/mm]
[mm] grad_{P_1}T=\pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] grad_{P_2}T=\pmat{ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] grad_{P_3}T=\pmat{ 0 \\ 9 }
[/mm]
[mm] grad_{P_4}T=\pmat{ 0 \\ \bruch{1}{2} }
[/mm]
Ich wollte nun zunächst fragen, ob diese ganze Fallunterscheidung für den Gradient, bzw. für die Richtung des steilsten Anstiegs Sinn macht, oder ob ich anders an die Sache rangehen muss.
Wie kriege ich nun eigentlich raus, in welche Richtung mein steilster Anstieg ist? Gibt es dort einen einfachen Trickl???
Hoffe ihr könnt mir helfen.
mfg und danke für eure Unterstützung thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:28 Di 22.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo thadod,
> Hallo und danke für die Unterstützung...
>
> Es geht wie bereits oben erläutert um folgende Aufgabe:
>
> Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> durch
>
> (x,y) [mm]\mapsto f(x,y)=\begin{cases} |(x,y)|^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Fertige eine Skizze zu den Niveualinien [mm]N_t(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : f(x,y) = t \}[/mm]
> für die Werte t [mm]\in \{1,4,9\}[/mm] an.
>
> Berechne außerdem den Gradienten von f für alle x,y [mm]\in \IR[/mm]
> und trage ihn für die Punkte [mm]P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
> in die Skizze ein...
>
> Mit Hilfe von meili konnten wir nun klären, dass es sich
> bei [mm]|(x,y)|^2[/mm] um den euklidischen Raum handelt.
> Es ergibt sich somit: [mm]|(x,y)|^2=\wurzel{x^2+y^2} \Rightarrow |(x,y)|^2=x^2+y^2[/mm]
>
> Ich schreibe daher nun folgendes:
>
> Gegeben sei die differenzierbare Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> durch
>
> (x,y) [mm]\mapsto f(x,y)=\begin{cases} x^2+y^2, & \mbox{} x \ge 0 \mbox{} \\ y^2, & \mbox{} x < 0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Und somit folgende Skizze für folgende Niveaulinien:
>
> für x [mm]\ge[/mm] 0:
> [mm]N_1(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 1 \}[/mm]
> [mm]N_4(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 4 \},[/mm]
>
> [mm]N_9(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 9 \}[/mm]
>
> für x < 0:
> [mm]N_1(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 1 \}[/mm]
> [mm]N_4(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 4 \}[/mm]
>
> [mm]N_9(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 9 \}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aufgeschrieben sind die Niveaulinien richtig,
obwohl man sie noch folgendermaßen zusammenfassen könnte:
[mm]N_1(f)=\{(x,y) \in \IR^2 : y^2 = 1 \wedge x < 0\} \cup \{(x,y) \in \IR^2 : x^2+y^2 = 1 \wedge x \ge 0 \}[/mm]
...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Aber eingezeichnet bedürfen die Niveaulinien noch ein paar Korrekturen:
Der Niveaulinie für t=1 fehlt die Fortsetzung im Punkt (0;-1): waagrechte Gerade nach links.
Die Niveaulinie für t=4 geht durch die Punkte (0;-2), (2;0), (0;2),
denn die Niveaulinie für t=4 verbindet die Punkte (x,y) [mm] $\in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $x^2+y^2 [/mm] = 4 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $y^2 [/mm] = 4 [mm] \wedge [/mm] x < 0$
und braucht für x < 0 auch 2 Geraden.
Ebenso geht die Niveaulinie für t=9 durch die Punkte (0;-3), (3;0), (0;3).
>
> Dann wollte ich nun zum Gradienten kommen. Für den
> Gradienten gilt ja bekanntlich:
>
> Gradient zeigt immer in die Richtung des steilsten
> Anstiegs, was ja noch wichtig ist, um ihn später in meine
> Skizze einzuzeichnen...
>
> Es ergibt sich somit folgender Gradient, für den Fall,
> dass x [mm]\ge[/mm] 0:
> [mm]grad_{\vec{x}}T=\pmat{ 2x \\ 2y }[/mm]
>
> und für die Punkte [mm]P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3),
> P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}):[/mm]
Unter diesen Fall x [mm] $\ge$ [/mm] 0 gehören nur die Punkte [mm]P_1=(0,0), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm]
>
> [mm]grad_{P_1}T=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
> [mm]grad_{P_2}T=\pmat{ 1 \\ 1 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $P_2 [/mm] = (-1;1)$ deshalb x < 0
[mm]grad_{P_2}T=\pmat{ 0 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]grad_{P_3}T=\pmat{ 1 \\ 9 }[/mm]
[mm] $P_2 [/mm] = (-1;3)$ deshalb x < 0
[mm]grad_{P_3}T=\pmat{ 0 \\ 6}[/mm]
> [mm]grad_{P_4}T=\pmat{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} }[/mm]
[mm]grad_{P_4}T=\vektor{2*\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 2*\bruch{1}{\wurzel{2}} =\pmat{ \wurzel{2} \\ \wurzel{2} }[/mm]
>
>
> Es ergibt sich somit folgender Gradient, für den Fall,
> dass x<0:
> [mm]grad_{\vec{x}}T=\pmat{ 0 \\ 2y }[/mm]
>
> und für die Punkte [mm]P_1=(0,0), P_2=(-1,1), P_3=(-1,3), P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}):[/mm]
Hier nur die Punkte [mm]P_2=(-1,1), P_3=(-1,3)[/mm].
(Für Punkt [mm] $P_1 [/mm] = (0;0)$ muss der gleiche Gradient raus kommen, sonst
wäre die Funktion f in diesem Punkt nicht differenzierbar.)
>
> [mm]grad_{P_1}T=\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
> [mm]grad_{P_2}T=\pmat{ 0 \\ 1 }[/mm]
[mm]grad_{P_2}T=\pmat{ 0 \\ 2 }[/mm]
>
> [mm]grad_{P_3}T=\pmat{ 0 \\ 9 }[/mm]
[mm]grad_{P_3}T=\pmat{ 0 \\ 6 }[/mm]
> [mm]grad_{P_4}T=\pmat{ 0 \\ \bruch{1}{2} }[/mm]
x [mm] $\ge$ [/mm] 0
>
>
> Ich wollte nun zunächst fragen, ob diese ganze
> Fallunterscheidung für den Gradient, bzw. für die
> Richtung des steilsten Anstiegs Sinn macht, oder ob ich
> anders an die Sache rangehen muss.
Allgemein ist die Fallunterscheidung schon richtig.
Für jeden Punkt muss man dann entscheiden, ob x < 0 oder < [mm] $\ge$ [/mm] 0.
>
> Wie kriege ich nun eigentlich raus, in welche Richtung mein
> steilster Anstieg ist? Gibt es dort einen einfachen
> Trickl???
Der Gradient gibt die Richtung direkt an.
z.B. Für [mm] $P_2$, [/mm] ein Vektor der Länge 2, parallel zur y-Achse.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> mfg und danke für eure Unterstützung thadod
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Di 22.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine sehr gute Hilfe...
Bei dem einsetzen ist leider etwas falsch gelaufen. Das tut mir sehr leid.
Soll das heißen, ich erhalte am Ende ganze 4 gradienten, bzw. Vektoren, wobei die x-Komponenten und y-Komponenten der Gradienten mit die Länge des Vektors angeben?
Woher aber weiss ich, auf welcher Höhe der y-Achse, bzw. Wo auf der x-Achse mein [mm] P_2 [/mm] parallel zur y-Achse verläuft?
MfG thadod
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Di 22.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo thadod,
> Hallo und danke für deine sehr gute Hilfe...
>
> Bei dem einsetzen ist leider etwas falsch gelaufen. Das tut
> mir sehr leid.
>
> Soll das heißen, ich erhalte am Ende ganze 4 gradienten,
> bzw. Vektoren, wobei die x-Komponenten und y-Komponenten
> der Gradienten mit die Länge des Vektors angeben?
Ja, es gibt 4 Gradienten, die als Vektoren angegeben werden.
Die Länge des Vektors berechnet sich als euklidische Norm des Vektors.
Nur wenn eine Komponente Null ist, entspricht die Länge der anderen Komponente.
>
> Woher aber weiss ich, auf welcher Höhe der y-Achse, bzw.
> Wo auf der x-Achse mein [mm]P_2[/mm] parallel zur y-Achse
> verläuft?
Die Gradienten wurden ja jeweils für einen bestimmten Punkt bestimmt.
Will man nun die Gradienten einzeichnen, verschiebt man den erhaltenen
Vektor so, dass der Startpunkt des Vektors der Punkt ist.
>
> MfG thadod
Gruß
meili
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 22.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke... Ich habe das ganze nun noch einmal ein wenig ausgeführt...
Ich erhalte nun für den [mm] P_1=(0,0) [/mm] einen Vektor mit der Länge 0, für den Punkt [mm] P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] einen Vektor mit der Länge 2
Für den Punkt [mm] P_2=(-1,1) [/mm] erhalte ich einen Vektor mit der Länge 2, und für den Punkt [mm] P_3=(-1,3) [/mm] erhalte ich einen Vektor mit der Länge 6.
Siehe Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider habe ich nun noch folgendes Problem mit einer dazugehörigen Teilaufgabe:
Zu einem Vektor [mm] \vec{v}=(v_1,v_2) \in \IR^2 [/mm] steht der Vektor [mm] \vec{S}(\vec{v})=(-v_2,v_1) \in \IR^2 [/mm] senkrecht. Trage [mm] \vec{S}(grad [/mm] f) für die Punkte [mm] P_1,P_2,P_3,P_4 [/mm] in die Skizze ein. Wie verhält sich im allgemeinen der Vektor [mm] \vec{S}(grad [/mm] f) zum zugehörigen Niveau?
Meine Idee:
Es müsste sich ja durch [mm] \vec{S}(grad [/mm] f) folgendes ergeben:
für x [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \vec{S}(grad f)=\pmat{ -2v_2 \\ 2v_1 }
[/mm]
für x<0
[mm] \vec{S}(grad f)=\pmat{ 0 \\ 2v_1 }
[/mm]
Aber ändert sich dadurch überhaupt grundsätzlich etwas???
mfg thadod
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Mi 23.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo thadod,
> Hallo und danke... Ich habe das ganze nun noch einmal ein
> wenig ausgeführt...
>
> Ich erhalte nun für den [mm]P_1=(0,0)[/mm] einen Vektor mit der
> Länge 0, für den Punkt
> [mm]P_4=(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] einen
> Vektor mit der Länge 2
>
> Für den Punkt [mm]P_2=(-1,1)[/mm] erhalte ich einen Vektor mit der
> Länge 2, und für den Punkt [mm]P_3=(-1,3)[/mm] erhalte ich einen
> Vektor mit der Länge 6.
>
> Siehe Skizze:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Skizze auch
>
>
> Leider habe ich nun noch folgendes Problem mit einer
> dazugehörigen Teilaufgabe:
>
> Zu einem Vektor [mm]\vec{v}=(v_1,v_2) \in \IR^2[/mm] steht der
> Vektor [mm]\vec{S}(\vec{v})=(-v_2,v_1) \in \IR^2[/mm] senkrecht.
> Trage [mm]\vec{S}(grad[/mm] f) für die Punkte [mm]P_1,P_2,P_3,P_4[/mm] in
> die Skizze ein. Wie verhält sich im allgemeinen der Vektor
> [mm]\vec{S}(grad[/mm] f) zum zugehörigen Niveau?
>
> Meine Idee:
>
> Es müsste sich ja durch [mm]\vec{S}(grad[/mm] f) folgendes
> ergeben:
>
> für x [mm]\ge[/mm] 0
>
> [mm]\vec{S}(grad f)=\pmat{ -2v_2 \\ 2v_1 }[/mm]
$ = [mm] \vektor{-2y \\ 2x }$
[/mm]
>
> für x<0
>
> [mm]\vec{S}(grad f)=\pmat{ 0 \\ 2v_1 }[/mm]
[mm]\vec{S}(grad f)=\pmat{ -2v_2 \\ 0 } = \vektor{-2y \\ 0}[/mm]
>
> Aber ändert sich dadurch überhaupt grundsätzlich
> etwas???
Ja, grad f und [mm] $\vec{S}(grad [/mm] f)$ sind Vektoren, die rechtwinklig zueinander
sind.
Zeichnet man sie im zugehörigen Punkt P ein,
ist [mm] $\vec{S}(grad [/mm] f)$ um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht im Vergleich zu grad f.
>
> mfg thadod
Gruß
meili
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