Norm einer linearen Abbildung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jedi84 |
| Aufgabe | Seien [mm] E:=(\mathbb{R}^3,\parallel\cdot\parallel_3), F:=(\mathbb{R}^3,\parallel\cdot\parallel_\infty), G:=(\mathbb{R}^3,\parallel\cdot\parallel_1) [/mm] und [mm] H:=\mathbb{R}^2,\parallel\cdot\parallel_\infty). [/mm]
Berechnen Sie die Normen der folgenden linearen Abbildungen.
Hinweis: Bestimmen Sie zunächst eine möglichst gute obere Schranke für [mm] \parallel A\parallel [/mm] etc. und zeigen Sie dann, dass das Supremum an einem Punkt der entsprechenden Einheitskugel angenommen wird.
a) [mm] A:H\to [/mm] E, [mm] A(x_1,x_2):=(x_1,x_2,0)
[/mm]
b) [mm] B:F\to [/mm] H, [mm] B(x_1,x_2,x_3):=(x_1+x_2,x_3-x_1)
[/mm]
c) [mm] C:G\to [/mm] H, [mm] C(x_1,x_2,x_3):=(x_1+x_2,x_3-x_1)
[/mm]
d) [mm] D:F\to [/mm] F, [mm] D(x_1,x_2,x_3):=(2x_1,x_1+x_2+x_3,x_2) [/mm] |
Bisher habe ich nur die Norm von zwei Punkten berechnet. Beispielsweise waren [mm] x,y\in\mathbb{R}^4 [/mm] gegeben und man sollte [mm] d_1(x,y) [/mm] berechnen (oder [mm] d_2, d_\infty, [/mm] ...).
Aber wie berechnet man die Norm einer Abbildung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Gemeint ist hier sicher die Matrixnorm der darstellenden Matrix, der jeweiligen Abbildungen... (Wikipedia ist dein Freund...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jedi84 |
Danke! Die Wiki-Seite habe ich gefunden, aber was ist bei mir die Matrix?
Und wo kommen dann die Normen ins Spiel, die zu den Räumen definiert sind?
Bei der ersten Aufgabe muss ich doch in irgendeiner Weise die Informationen benutzen, die ich gegeben habe:
- die Abbildung bildet [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] auf [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] ab
- in H ist eine [mm] \infty-Norm
[/mm]
- in E ist eine 2-Norm
- aus [mm] (x_1,x_2) [/mm] wird [mm] (x_1,x_2,0)
[/mm]
Mir fehlt irgendwo das Verständnis. Matrizen wurden in der Vorlesung nicht erwähnt (bisher jedenfalls) - allerdings in einer anderen Vorlesung, aus der Stoff voraus gesetzt wird. Nur das war lineare Algebra und mit den Matrizen haben wir ganz andere Sachen gemacht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Fr 18.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Also für die c) würde die Matrix z.B. so aussehen:
[mm] $\pmat{1&1&0\\ -1&0&3}$
[/mm]
Die Spalten sind die Bilder der Standardbasisvektoren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Brids |
Hallo! Die Frage kommt mir bekannt vor und auch das Problem, was damit besteht.
Ich habe jetzt noh zwei kurze Fragen zu der letzten Anwort:
1) wie hast du die Matrix anhand der Angaben bestimmt (damit ich das für die anderen nachmachen kann) und
2)wenn ich die Matrix nun habe, wie berechne ich dann auf dergrundlage der Matrix die Norm der Abbildung?
Wahrscheinlich ist die Antwort recht simpel, aber leider fehlt mir auh die Vorkenntnis, die in dieser Vorlesung vorausgesetzt wird und der Prof ist leider auh keine große Hilfe gewesen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 21.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Hallo! Die Frage kommt mir bekannt vor und auch das
> Problem, was damit besteht.
> Ich habe jetzt noh zwei kurze Fragen zu der letzten
> Anwort:
> 1) wie hast du die Matrix anhand der Angaben bestimmt
> (damit ich das für die anderen nachmachen kann) und
Wie gesagt: Die Spalten sind die Bilder der Basisvektoren der kanonischen Standartbasis.
Das heißt du nimmst dir diese Standartbasisvektoren der Reihe nach vor und berechnest ihr Bild, z.B. bei c)
[mm] $C\cdot\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1+0\\0-1}=\vektor{1\\-1}$.
[/mm]
Und das steht in der ersten Spalte von deiner Darstellungsmatrix.
> 2)wenn ich die Matrix nun habe, wie berechne ich dann auf
> dergrundlage der Matrix die Norm der Abbildung?
Das steht in der ![[]](/images/popup.gif) Definition einer Matrixnorm...
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Hallo,
ich greife jetzt mal diesen Thread auf um meine Frage zustellen, denn sie ist mit der ursprünglichen Frage sehr verwandt:
Wenn ich von einer linearen Abbildung [mm]f[/mm] die Maximumsnorm [mm]||f||_\infty[/mm] berechnen will, kann ich dann stattdessen die Maximumsnorm der zugehörigen Darstellungsmatrix [mm]A[/mm] berechnen? Das müsste doch eigentlich gehen?
Danke für eure Antwort!
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 12.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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