Norm eines Faktorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 04.07.2006 | | Autor: | Susi___ |
| Aufgabe | Sei V ein normierter Raum und W ein abgeschlossener Unterraum von V. Man zeige, dass | | . | |' mit
| | v + W | |:= inf{ | |x | | : x ist Element v+W}
eine Norm von V/W ist
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Zu Zeigen sind die drei Normeigenschaften
1) ist | |v+W | |= 0 so folgt daraus dass v+W was ist? der Nullraum?
es gibt ja nun keine Null oder muss v Null sein?
Andersrum ists ja klar, für den Nullraum wie auch v = 0 ist die Norm Null.
die anderen Normeigenschaften sind klar
Schönen Dank schon mal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hi Susi,
du musst zeigen, dass [mm] $\parallel v+W\parallel'=0$ [/mm] impliziert, das $v+W$ das Nullelement in $V/W$, also $=0+W$ ist. Wenn nun aber [mm] $\parallel v+W\parallel'=\textnormal{inf}\{\parallel x\parallel: x\in v+W\}=0$ [/mm] ist, muss es ja ein [mm] $x\in [/mm] v+W$ geben mit [mm] $\parallel x\parallel=0$. [/mm] Das impliziert aber, dass $x=0$ ist [mm] ($\parallel\cdot\parallel$ [/mm] ist ja selbst eine Norm), also muss [mm] $0\in [/mm] v+W$ sein, also $0+W=v+W$ sein.
Viele Grüße,
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Susi___ |
Schönen Dank, du hast mir wirklich geholfen!
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