Norm von Idealen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 27.05.2008 | | Autor: | bksstock |
Hi!
Ich möchte die Norm von A:=(8, [mm] \wurzel{-5}) [/mm] über dem quadratischen Zahlkörper K = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{-5} [/mm] ) berechnen.
Kann bitte jemand an diesem Beispiel vorrechnen wie man allgemein eine solche Norm berechnet?
Wenn ich mich nicht irre, müsste es ja genügen die Anzahl der Elemente von [mm] \IZ [/mm] [ [mm] \wurzel{-5} [/mm] ] zu berechnen. Aber wie mache ich das?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ich möchte die Norm von A:=(8, [mm]\wurzel{-5})[/mm] über dem
> quadratischen Zahlkörper K = [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{-5}[/mm] )
> berechnen.
>
> Kann bitte jemand an diesem Beispiel vorrechnen wie man
> allgemein eine solche Norm berechnet?
> Wenn ich mich nicht irre, müsste es ja genügen die Anzahl
> der Elemente von [mm]\IZ[/mm] [ [mm]\wurzel{-5}[/mm] ] zu berechnen. Aber wie
> mache ich das?
Also [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] hat unendlich viele Elemente.
Aber nun zu deiner Frage, wie das ganz allgemein geht. Dazu benoetigst du erstmal den Ring der ganzen Zahlen $O$ von [mm] $\IQ(\sqrt{-5})$ [/mm] (ob $O = [mm] \IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] oder etwas leicht groesseres ist weiss ich aus dem Stand grad nicht) und eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] davon. Nennen wir diese mal [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] (wobei hier $n = 2 = [mm] [\IQ(\sqrt{-5}) [/mm] : [mm] \IQ]$ [/mm] ist).
Dann brauchst du eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] vom Ideal $A$, etwa [mm] $w_1, \dots, w_n$. [/mm] Nun ist $N(A) = |O / A|$.
Nun kannst du [mm] $w_j [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i$ [/mm] mit [mm] $a_{ij} \in \IZ$ [/mm] schreiben, da $A [mm] \subseteq [/mm] O$ gilt. Dann gilt naemlich $|O / A| = [mm] \det (a_{ij})_{ij}$. [/mm] (Beachte dazu: $A [mm] \cong \IZ^n$ [/mm] mit der Basis [mm] $v_1, \dots, v_n$, [/mm] und wenn du eine Untergruppe $U$ von [mm] $\IZ^n$ [/mm] mit endlichem Index hast mit einer Basis, dann kannst du die Anzahl der Elemente in [mm] $\IZ^n [/mm] / U$ ausrechnen indem du die Basis in eine Matrix schreibst und die Determinante davon nimmst. Um das zu beweisen schau dir z.B. die Hermite- oder Smith-Normalform der Matrix an, diese hat die gleiche Determinante und du siehst schnell die Anzahl der Elemente.)
Ok. Problem ist also: wie findet man [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] und wie findet man [mm] $w_1, \dots, w_n$? [/mm] Zu [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] habt ihr sicher was, hier ist vermutlich [mm] $v_1 [/mm] = 1$ und [mm] $v_2 [/mm] = [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] (ueberpruef das lieber!).
Aber wie findet man nun [mm] $w_1, \dots, w_n$? [/mm] Du hast $A$ als Liste von Generatoren angegeben. Wenn $A$ ein Hauptideal waere, dann muesstest du [mm] $v_1, \dots, v_n$ [/mm] jeweils mit dem Generator multiplizieren, um [mm] $w_1, \dots, w_n$ [/mm] zu erhalten. Nun, oben gilt [mm] $(w_1, \dots, w_n) [/mm] = [mm] (v_1, \dots, v_n) (a_{ij})_{ij}$ [/mm] (als formales Produkt).
Sagen wir mal du hast die Generatoren [mm] $f_1, \dots, f_k$ [/mm] (du hast: [mm] $f_1 [/mm] = 8$, [mm] $f_2 [/mm] = [mm] \sqrt{-5}$). [/mm] Dann kannst du ja erstmal [mm] $f_\ell v_j$ [/mm] verechnen, fuer [mm] $\ell [/mm] = 1, [mm] \dots, [/mm] k$, $j = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Die Stellst du wieder durch die [mm] $v_i$ [/mm] dar, bekommst also fuer jedes [mm] $\ell$ [/mm] eine Marix [mm] $(a_{ij}^{(\ell)})_{ij}$. [/mm] Diese schreibst du jetzt hintereinander: [mm] $\pmat{ a_{11}^{(1)} & \cdots & a_{1n}^{(1)} & a_{11}^{(2)} & \cdots & a_{1n}^{(2)} & \cdots & a_{11}^{(\ell)} & \cdots & a_{1n}^{(\ell)} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}^{(1)} & \cdots & a_{nn}^{(1)} & a_{n1}^{(2)} & \cdots & a_{nn}^{(2)} & \cdots & a_{n1}^{(\ell)} & \cdots & a_{nn}^{(\ell)} }$. [/mm] Diese Matrix bringst du jetzt mit Spaltenumformungen auf Spaltenstufenform (also die transponierte davon ist in Zeilenstufenform); dann sollten gerade die ersten $n$ Spalten ungleich 0 sein und die restlichen alle 0. Die ersten $n$ Spalten nimmst du dann als die Matrix [mm] $(a_{ij})_{ij}$; [/mm] diese liefert dir eine Basis von dem Ideal $A$ (ueber [mm] $w_j [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i$, [/mm] $j = 1, [mm] \dots, [/mm] n$).
Tja, und wie schon gesagt, von dieser Matrix berechnest du halt die Determinante um die Norm von $A$ zu erhalten.
Ok, das war jetzt vermutlich viel zu allgemein, aber du hast ja nach einem ganz allgemeinen Weg gefragt 
(Das sollste sich so oder aehnlich z.B. in dem Buch Computational Number Theory von Henri Cohen finden.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Di 27.05.2008 | | Autor: | bksstock |
Alles klar!
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 27.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Alles klar!
Ok :)
> Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Bitte!
Wenn du noch Fragen hast, schreib ruhig...
Ich vermute mal dass sich deine konkrete Aufgabe auch einfacher loesen laesst. Z.b. ist ja auch $-10 = [mm] \sqrt{-5}^2$ [/mm] in $A$, und somit auch $2 = 8 + -10$. Also ist $A = (2, [mm] \sqrt{-5})$. [/mm] Ich koennte mir spontan vorstellen, dass $A$ ein Primideal ist, welches ueber dem Primideal $(2)$ von [mm] $\IZ$ [/mm] liegt. Da dieses sich dann offensichtlich aufsplitten wuerde, waere $N(A) = 2$.
Oder etwas direkter: wenn du $a + b [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] hast ($a, b [mm] \in \IZ$), [/mm] ist das modulo $A$ immer aequivalent zu [mm] $\hat{a}$ [/mm] + [mm] \hat{b} \sqrt{-5}$ [/mm] mit [mm] $\hat{a} \in \{ 0, 1 \}$ [/mm] und [mm] $\hat{b} [/mm] = 0$. Wenn du dich jetzt noch ueberzeugst, dass $1$ nicht in $A$ liegt, dann folgt daraus, dass $O / A$ genau zwei Elemente hat (zumindest fuer den Fall, dass $O = [mm] \IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] ist).
Das funktioniert allerdings nur fuer dieses konkrete Ideal so, ganz allgemein geht das nicht so einfach...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 28.05.2008 | | Autor: | bksstock |
Danke noch einmal für deine Hilfestellungen.
Mir ist gerade aufgefallen, dass -3*8 - 5* [mm] \wurzel{-5} [/mm] * [mm] \wurzel{-5} [/mm] = -24 + 25 = 1 ist, also wäre hier sogar (1) = A und damit die Norm von A = 1, oder mache ich hier einen Fehler?
|
|
|
|
