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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IC [/mm] mit Eigenwerten, [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2},..., \lambda_{n} [/mm] (diese werden mit irher alg. Vielfachheit gezählt). Beweisen sie, dass
[mm] Spur(A^{H}*A) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{l=1}^{n}|a_{k,l}|^{2}\le\summe_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|^{2},
[/mm]
und beweisen sie, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{l=1}^{n}|a_{k,l}|^{2} =\summe_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|^{2} [/mm] genau dann, wenn A normal ist. |
Hallo,
hat jemand eine idee, wie man an diese Aufgabe rangehen könnte? Irgendwie bekomme ich nichts hin. Wahrscheinlich geht es über eine Normalform, aber wie?
ich hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
N
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> Sei A [mm]\in \IC[/mm] mit Eigenwerten, [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2},..., \lambda_{n}[/mm]
> (diese werden mit irher alg. Vielfachheit gezählt).
> Beweisen sie, dass
> [mm]Spur(A^{H}*A)[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \summe_{l=1}^{n}|a_{k,l}|^{2}\le\summe_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|^{2},[/mm]
>
> und beweisen sie, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \summe_{l=1}^{n}|a_{k,l}|^{2} =\summe_{k=1}^{n}|\lambda_{k}|^{2}[/mm]
> genau dann, wenn A normal ist.
Hallo,
ich denke, daß man verwenden muß, daß A ähnlich ist zu einer oberen Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Wenn A normal ist, ist A diagonalisierbar. Das wird man für Teil 2 benötigen.
Gruß v. Angela
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