Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 05.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für alle n [mm] \in \IN_{>0} [/mm] alle normalen Untergruppen von [mm] S_{n} [/mm] |
Hallo zusammen
Das ist die letzte Aufgabe der Übungsserie dieser Woche..
Ich habe keinen Ansatz, wie ich sie lösen könnte... Mit p-Sylowuntergruppen kann ich ja nicht viel machen, da die Ordnung von [mm] S_{n} [/mm] ja n! ist.. und für ein beliebiges n gibt es keine Regelmässigkeit bei der verteilung von Primzahlen.
Hat jemand ein Tipp für mich parat? :)
Grüsse und vielen Dank, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 06.11.2009 | | Autor: | PeterB |
Hallo Amaro,
[mm] $S_n$ [/mm] enthält [mm] $A_n$. [/mm] Ist [mm] $A_n$ [/mm] normal? Was weißt du über [mm] $A_n$ [/mm] und was folgt dann für [mm] $A_n\cap [/mm] N$ für einen beliebigen Normalteiler $N$ in [mm] $S_n$?
[/mm]
Gruß
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Danke für deine Antwort :)
> Hallo Amaro,
>
> [mm]S_n[/mm] enthält [mm]A_n[/mm]. Ist [mm]A_n[/mm] normal? Was weißt du über [mm]A_n[/mm]
> und was folgt dann für [mm]A_n\cap N[/mm] für einen beliebigen
> Normalteiler [mm]N[/mm] in [mm]S_n[/mm]?
>
[mm] A_{n} [/mm] ist als Kern des Homomorphismus [mm] S_{n} \to {\pm 1} [/mm] ein Normalteiler von [mm] S_{n}.
[/mm]
Somit habe ich schon mal die offensichtlichen Normalteiler: e, [mm] S_{n} [/mm] selbst und [mm] A_{n}.
[/mm]
Jetzt, [mm] A_{n} [/mm] ist für n [mm] \ge [/mm] 5 einfach.. Für diese n hat [mm] S_{n} [/mm] somit nur die schon gefundenen normalteiler. (Richtig?)
D.h ich muss nur für n<5 die Fälle separat betrachten? Ich denke das könnte jetzt mit Sylow funktionieren.. :)
> Gruß
> Peter
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Fr 06.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > [mm]S_n[/mm] enthält [mm]A_n[/mm]. Ist [mm]A_n[/mm] normal? Was weißt du über [mm]A_n[/mm]
> > und was folgt dann für [mm]A_n\cap N[/mm] für einen beliebigen
> > Normalteiler [mm]N[/mm] in [mm]S_n[/mm]?
>
> [mm]A_{n}[/mm] ist als Kern des Homomorphismus [mm]S_{n} \to {\pm 1}[/mm] ein
> Normalteiler von [mm]S_{n}.[/mm]
Genau.
> Somit habe ich schon mal die offensichtlichen Normalteiler:
> e, [mm]S_{n}[/mm] selbst und [mm]A_{n}.[/mm]
Ja.
> Jetzt, [mm]A_{n}[/mm] ist für n [mm]\ge[/mm] 5 einfach.. Für diese n hat
> [mm]S_{n}[/mm] somit nur die schon gefundenen normalteiler.
> (Richtig?)
Nun, das stimmt, aber es ist noch nicht ganz offensichtlich: warum gibt es in [mm] $S_n$ [/mm] (mit $n [mm] \ge [/mm] 5$) keinen Normalteiler $N [mm] \subseteq S_n$ [/mm] mit $N [mm] \not\subseteq A_n$?
[/mm]
> D.h ich muss nur für n<5 die Fälle separat betrachten?
Ja.
> Ich denke das könnte jetzt mit Sylow funktionieren.. :)
Ja, oder mit "ausprobieren"  Teilweise hattet ihr die Gruppen sicher schon in der Vorlesung bzw. der Uebung, z.B. [mm] $S_3$. [/mm] Die Gruppen [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] sind eh sehr einfach (weil winzig), und das einzige wo man noch wirklich was tun muss ist [mm] $S_4$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix, und danke!
> > Jetzt, [mm]A_{n}[/mm] ist für n [mm]\ge[/mm] 5 einfach.. Für diese n hat
> > [mm]S_{n}[/mm] somit nur die schon gefundenen normalteiler.
> > (Richtig?)
>
> Nun, das stimmt, aber es ist noch nicht ganz
> offensichtlich: warum gibt es in [mm]S_n[/mm] (mit [mm]n \ge 5[/mm]) keinen
> Normalteiler [mm]N \subseteq S_n[/mm] mit [mm]N \not\subseteq A_n[/mm]?
Dann muss ich das noch beweisen... Ich kann ja annehmen, dass N ein Normalteiler von [mm] S_{n} [/mm] ist und zeigen, dass N = [mm] A_{n}..
[/mm]
Es gibt ja 2 Fälle:
1) Ich habe ein 3-er Zykel in N (z.B (123)) oder
2) Ich habe eine disjunkte vereinigung von Transpositionen (z.B (12)(34))
(Das kommt daher, dass sich alle Permutationen als Verknüpfung von Transpositionen schreiben lässt.. Sind sie nicht disjunkt, so ergibt sich der erste Fall..)
Ich kann in beiden Fällen jetzt versuchen zu folgern, dass dann N = [mm] A_{n}... [/mm] Ich weiss noch nicht wie. Wenn ich jetzt zeigen kann, dass N alle 3er-Zykel haben muss, dann bin ich fertig..
Wie kann ich das zeigen? :)
Danke :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Fr 06.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo Felix, und danke!
>
> > > Jetzt, [mm]A_{n}[/mm] ist für n [mm]\ge[/mm] 5 einfach.. Für diese n hat
> > > [mm]S_{n}[/mm] somit nur die schon gefundenen normalteiler.
> > > (Richtig?)
> >
> > Nun, das stimmt, aber es ist noch nicht ganz
> > offensichtlich: warum gibt es in [mm]S_n[/mm] (mit [mm]n \ge 5[/mm]) keinen
> > Normalteiler [mm]N \subseteq S_n[/mm] mit [mm]N \not\subseteq A_n[/mm]?
>
>
> Dann muss ich das noch beweisen... Ich kann ja annehmen,
> dass N ein Normalteiler von [mm]S_{n}[/mm] ist und zeigen, dass N =
> [mm]A_{n}..[/mm]
Oder $N = [mm] \{ id \}$ [/mm] oder $N = [mm] S_n$ [/mm]
> Es gibt ja 2 Fälle:
>
>
> 1) Ich habe ein 3-er Zykel in N (z.B (123)) oder
>
> 2) Ich habe eine disjunkte vereinigung von Transpositionen
> (z.B (12)(34))
>
>
> (Das kommt daher, dass sich alle Permutationen als
> Verknüpfung von Transpositionen schreiben lässt.. Sind
> sie nicht disjunkt, so ergibt sich der erste Fall..)
Es koennten ja auch anere Zykel oder Vereinigungen von Transpositionen drinnen sein.
> Ich kann in beiden Fällen jetzt versuchen zu folgern, dass
> dann N = [mm]A_{n}...[/mm] Ich weiss noch nicht wie. Wenn ich jetzt
> zeigen kann, dass N alle 3er-Zykel haben muss, dann bin ich
> fertig..
Nun: wenn $x$ in $N$ liegt, dann auch der kleinste Normalteiler, der $x$ umfasst. Und da [mm] $A_n$ [/mm] einfach ist und wenn $x [mm] \in A_n$ [/mm] ist, muss also [mm] $A_n \subseteq [/mm] N$ sein: daraus folgt $N = [mm] A_n$ [/mm] oder $N = [mm] S_n$. [/mm] (Der kleinste Normalteiler, der $x$ umfasst, ist ja der Schnitt aller Normalteiler, die $x$ enthalten -- und wenn $x$ in [mm] $A_n$ [/mm] liegt, dann ist der kleinste $x$ umfassende Normalteiler bereits auch ein Normalteiler in [mm] $A_n$ [/mm] -- und somit entweder [mm] $\{ e \}$ [/mm] oder [mm] $A_n$.)
[/mm]
Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $A_n \cap [/mm] N [mm] \neq \{ id \}$ [/mm] ist (falls nicht grad $N = [mm] \{ id \}$ [/mm] ist).
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> > Es gibt ja 2 Fälle:
> >
> >
> > 1) Ich habe ein 3-er Zykel in N (z.B (123)) oder
> >
> > 2) Ich habe eine disjunkte vereinigung von Transpositionen
> > (z.B (12)(34))
> >
> >
> > (Das kommt daher, dass sich alle Permutationen als
> > Verknüpfung von Transpositionen schreiben lässt.. Sind
> > sie nicht disjunkt, so ergibt sich der erste Fall..)
>
> Es koennten ja auch anere Zykel oder Vereinigungen von
> Transpositionen drinnen sein.
Ok, ich verwerfe mal diesen Versuch.. :) Das klappt also nicht.
> Nun: wenn [mm]x[/mm] in [mm]N[/mm] liegt, dann auch der kleinste
> Normalteiler, der [mm]x[/mm] umfasst. Und da [mm]A_n[/mm] einfach ist und
> wenn [mm]x \in A_n[/mm] ist, muss also [mm]A_n \subseteq N[/mm] sein: daraus
> folgt [mm]N = A_n[/mm] oder [mm]N = S_n[/mm]. (Der kleinste Normalteiler, der
> [mm]x[/mm] umfasst, ist ja der Schnitt aller Normalteiler, die [mm]x[/mm]
> enthalten -- und wenn [mm]x[/mm] in [mm]A_n[/mm] liegt, dann ist der kleinste
> [mm]x[/mm] umfassende Normalteiler bereits auch ein Normalteiler in
> [mm]A_n[/mm] -- und somit entweder [mm]\{ e \}[/mm] oder [mm]A_n[/mm].)
>
> Es reicht also zu zeigen, dass [mm]A_n \cap N \neq \{ id \}[/mm] ist
> (falls nicht grad [mm]N = \{ id \}[/mm] ist).
>
> Hilft dir das weiter?
Das sollte es eigentlich, aber ich steh grad aufm Schlauch..
Also, Dann habe ich trotz allem immer noch 2 Fälle:
i) [mm] \underline{x \in N, x \in A_{n}:} A_{n} \subseteq [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] N = [mm] A_{n} [/mm] od. N = [mm] S_{n} [/mm] (Einfachheit von [mm] A_{n}) [/mm] mit einer ausführlichen Begründung deinerseits.. hierfür vielen Dank :)
ii) [mm] \underline{x \in N, x \notin A_{n}:} [/mm] Dann müsste ich doch folgern können, dass N = [mm] S_{n} [/mm] (x [mm] \not= [/mm] e).. Doch mir fällt nicht ein, wie.. ich versuche es weiter...
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!
>
> LG Felix
>
Viele Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Moment, da fällt mir ein...
Der zweite Fall muss man ja gar nicht so betrachten!
Denn:
Sei N ein Normalteiler von [mm] S_{4}, [/mm] N [mm] \not= \{e\}. [/mm] Dann:
Enthält N eine gerade Permutation, so ist dieses Element in [mm] A_{n} [/mm] und wir haben den ersten Fall
Enthält N keine gerade Permutation, so enthält es ungerade Permutationen.. die Verknüpfung ungerader Permutationen ist aber wieder gerade, somit auch der erste Fall!!
Also haben wir in jedem Fall [mm] N\cap A_{n} \not= [/mm] id
Richtig so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Fr 06.11.2009 | | Autor: | PeterB |
Oh, gut, dass ich kurz unterbrochen wurde, allerdings fehlt noch der Fall von $#N=2$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 06.11.2009 | | Autor: | PeterB |
Ich würde es etwas anders formulieren und hatte im erten Beitrag schon so etwas angedeutet:
[mm] $N\cap A_n$ [/mm] ist in jedem Fall ein Normalteiler in [mm] $A_n$. [/mm] Also [mm] $A_n$ [/mm] oder [mm] $\{id\}$. [/mm] Nur im zweiten Fall ist etwas zu tun: zunächt [mm] $x,y\in S_n-A_n$, [/mm] dann [mm] $xy\in A_n$ [/mm] also kann $N$ höchtens zwei Elemente haben. Wenn $N$ normal ist, was folgt dann für das nicht triviale Element von $N$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Ich würde es etwas anders formulieren und hatte im erten
> Beitrag schon so etwas angedeutet:
>
> [mm]N\cap A_n[/mm] ist in jedem Fall ein Normalteiler in [mm]A_n[/mm]. Also
> [mm]A_n[/mm] oder [mm]\{id\}[/mm]. Nur im zweiten Fall ist etwas zu tun:
> zunächt [mm]x,y\in S_n-A_n[/mm], dann [mm]xy\in A_n[/mm] also kann [mm]N[/mm]
> höchtens zwei Elemente haben. Wenn [mm]N[/mm] normal ist, was folgt
> dann für das nicht triviale Element von [mm]N[/mm]?
>
>
Nun, dann wäre ja |N| = 2 (Ordnung)
Somit muss das nicht triviale Element Ordnung 2 haben.
In [mm] S_{n} [/mm] gibt es zwei Arten von Elementen mit solcher Ordnung:
- Transpositionen
- Komposition disjunkter Transpositionen
Aber beispielsweise:
[mm] (12)\circ(123) [/mm] = (23)
[mm] (123)\circ(12) [/mm] = (13)
Transpositionen kommen also nicht in Frage.
Auch beispielsweise:
[mm] (12)(34)\circ [/mm] (123) = (243)
[mm] (123)\circ [/mm] (12)(34) = (134)
Also kommen solche auch nicht in Frage..
Reicht das so?
Grüsse und vielen Dank!
Amaro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Sa 07.11.2009 | | Autor: | PeterB |
Ich denke, das reicht so. Ich würde statt "zum Beispiel [mm] $(12)\circ [/mm] (123)..." lieber [mm] $(a_1 a_2)\circ (a_1 a_2 a_3)...$ [/mm] schreiben, dann decken deine zwei Beispiele alle möglichen Fälle ab. Aber das ist Geschacksache.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Vielen Dank für eure Hilfe! :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Ja, oder mit "ausprobieren" Teilweise hattet ihr die
> Gruppen sicher schon in der Vorlesung bzw. der Uebung, z.B.
> [mm]S_3[/mm]. Die Gruppen [mm]S_1[/mm] und [mm]S_2[/mm] sind eh sehr einfach (weil
> winzig), und das einzige wo man noch wirklich was tun muss
> ist [mm]S_4[/mm].
Ich habe jetzt [mm] S_{4} [/mm] betrachtet.. ich komme auf folgende Normalteiler:
[mm] H_{1} [/mm] = [mm] \{e\}
[/mm]
[mm] H_{2} [/mm] = [mm] A_{4}
[/mm]
[mm] H_{3} [/mm] = [mm] S_{4}
[/mm]
[mm] H_{4} [/mm] = [mm] \{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}
[/mm]
Sind das alle? :)
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> LG Felix
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Grüsse, Amaro
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