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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Di 27.06.2006 | | Autor: | sonrisa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute! Ich brauche dringend eure Hilfe...ich will das so gerne verstehen! Ich muss folgende zwei Dinge beweisen:
1. Sei [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] eine beliebige Norm auf [mm] $\IR^m$. [/mm] dann ist die Funktion $f: [mm] \IR^m\to\IR, [/mm] f(x)= [mm] \|x\|$ [/mm] stetig bezüglich [mm] $\|\cdot\|_2$.
[/mm]
2. Je zwei Normen des [mm] $\IR^n$ [/mm] sind äquivalent.
Ich wäre euch echt dankbar, wenn ihr mir dabei helfen könntet! Dann werde ich alles daran setzen, die Beweise nachzuvollziehen!
Kann ich das 2. folgendermaßen zeigen?
Wir betrachten die Teilmenge $H:= [mm] \{x\in \IR^m| \|x\|_2=1\}$. [/mm] $H$ ist beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. => [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] nimmt als stetige funktion ihr maximum und minimum in $H$ an, Es gibt also [mm] $x_1, x_2$ [/mm] aus $H$ mit [mm] $x_1\leq \|x\|<=x_2$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] H$. Ist nun [mm] $x\in\IR^n,y\neq [/mm] 0$beliebig, so gilt: [mm] $\frac{x}{|\x\|_2}$ [/mm] aus $H$ (normiert) und daher [mm] $x_1\leq\|\frac{x}{(\|x\|_2}\|\leq x_2$, [/mm] also [mm] $x_1\cdot\|x\|_2\leq\|x\|\leq x_2\cdot\|x\|_2$.
[/mm]
Ergibt das einen sinn?
Brauche echt dringend hilfe!! :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 27.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Ich brauche dringend eure Hilfe...ich will das so gerne verstehen!
Klar, so muss es sein! Den Aufgabenteil (2) hast du ja bereits wunderbar gelöst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber, wie du wahrscheinlich selbst gemerkt hast, benötigen wir dort die Stetigkeit von [mm] $x\mapsto \|x\|$, [/mm] die in (1) nachgewiesen werden soll.
Was müsste erfüllt sein, damit [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] stetig ist? Nun, zu einem [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] und [mm] $\epsilon>0$ [/mm] müsste es ein [mm] $\delta$ [/mm] so geben, dass für alle [mm] $y\in \IR^n$ [/mm] mit [mm] $\|x-y\|_2<\delta$ [/mm] stets [mm] $|\|x\|-\|y\||<\epsilon$ [/mm] gilt. Wegen [mm] $|\|x\|-\|x\||<\|x-y\|$ [/mm] folgte dies bereits aus [mm] $\|x-y\|<\epsilon$. [/mm] Wenn wir zeigen könnten (die "Hälfte" der Äquivalenz von [mm] $\|\cdot\|$ [/mm] und [mm] $\|\cdot\|_2$), [/mm] dass ein $C>0$ mit [mm] $\|x\|\leq C\|x\|_2$ [/mm] existierte, dann wären wir fertig, denn dann könnten wir oben [mm] $\delta:=\frac{\epsilon}{C}$ [/mm] setzen.
Um ein solches $C$ zu finden, bedienen wir uns der Norm-Axiome. Für [mm] $x=(x_1,...,x_n)$ [/mm] gilt [mm] $\|x\|\leq \sum_{i=1}^{n} \|(0,...,x_i,...,0)\| [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} |x_i| \|e_i\|$. [/mm] Die Werte [mm] $\|e_i\|$ [/mm] sind von $x$ unabhängig, und deshalb kannst du unter ihnen das Maximum [mm] $K:=\max\{\|e_1\|,...,\|e_n\|\}$ [/mm] betrachten. Mit dieser Definition gilt dann [mm] $\|x\|\leq K\sum_{i=1}^{n}|x_i|$. [/mm] Um nun den Term [mm] $\|x\|_2=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ [/mm] ins Spiel zu bringen, musst du noch die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem quadratischen Mittel von [mm] $|x_1|,...,|x_n|$ [/mm] einbringen: [mm] $\frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i|}{n}\leq\sqrt{\frac{|x_1|^2+...+|x_n|^2}{n}}$. [/mm] Schaffst du die nötigen Umformungen und das Einsetzen nun selbst?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Mi 28.06.2006 | | Autor: | sonrisa |
Vielen herzlichen Dank, Hanno!! Ich bin echt erleichtert, dass ich das jetzt wohl mit deiner Antwort irgendwie auf die Reihe bekommen werde! DANKE!
Geht es dann so weiter?
...Es gilt [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel<=k* \summe_{i=1}^{n} [/mm] lx_il <=1/n* [mm] \wurzel{(lx_1l^2+...+lx_nl^2)/n}
[/mm]
<=> [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] <= k*( [mm] \parallelx\parallel_2)/(nwurzel{n}), [/mm] also nehmen wir [mm] \delta=n\epsilon/k*wurzel{n}?
[/mm]
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Es gilt [mm] $\| x\|\leq K\cdot\summe_{i=1}^{n}\|x_i\|\leq\frac{1}{n}\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}}$
[/mm]
Hier hast du dich etwas verhaspelt. Es muss [mm] $n\cdot\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}}=\sqrt{n}\|x\|_2$ [/mm] heißen, nicht [mm] $\frac{1}{n}\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}}$.
[/mm]
Wie schaut dein [mm] $\delta$ [/mm] dann aus?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:58 Mi 28.06.2006 | | Autor: | sonrisa |
Oh ja, klar! Also dann komme ich darauf, dass man [mm] \delta= \epsilon/2 [/mm] wählen muss, richtig? damit bin ich doch dann fertig , oder? Also wenn dann [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel [/mm] < [mm] \delta= \epsilon/2 [/mm] ist l [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel- \parallely \parallel [/mm] l < [mm] \epsiolon, [/mm] richtig?
vielen dank nochmal, du hilfst mir sehr!
P.S. Und mein beweis von 2. ist echt richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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