Nullfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Xenia |
Hallo zusammen,
hab folgende Frage:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n} konvergiert, \Rightarrow (a_{n}) Nullfolge[/mm], ist mir klar. Aber gilt dies auch andersrum: [mm](a_{n}) Nullfolge \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}a_{n} konvergiert?[/mm]
uebrigens, ist Nullfolge immer eine Cauchyfolge?
Danke und Gruss,
Xenia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xenia!
Nein, die Umkehrung gilt nicht!
Gegenbeispiel: [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] (harmonische Reihe).
Da gemäß Forster "Analysis I", §5 Satz 1 "jede konvergente Folge reeller Zahlen eine Cauchy-Folge" ist, gilt dies für den Spezialfall "Nullfolge" also auch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Xenia |
Hi Loddar,
danke, bin klar geworden.
eine weitere Frage: wenn [mm]( a_{n})[/mm] eine alternierende Nullfolge, konvergiert jetzt die Reihe [mm] \summe_{}^{}a_{n}[/mm] ?
danke und gurss,
xenia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Xenia!
Das entscheidende Stichwort hat Dir Karl mit dem Leibniz-Kriterium bereits genannt. Wichtig ist hier, dass es sich bei [mm] $a_n$ [/mm] um eine monoton fallende Nullfolge handelt.
Damit ist Deine so allgemein gefasste Aussage nicht wahr!
Gruß
Loddar
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http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium