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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (b_{n})_{n} [/mm] eine beschränkte reelle Folge. Sei [mm] (x_{n})_{n} [/mm] eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (b_{n}*x_{n})_{n} [/mm] ebenfalls eine Nullfolge ist. |
[mm] (b_{n})_{n} [/mm] ist beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt [mm] b,B\in\IR [/mm] mit [mm] b\le b_{n}\le [/mm] B
Da [mm] x_{n}*b [/mm] gegen Null konvergiert und [mm] x_{n}*B [/mm] gegen Null konvergiert, muss [mm] (b_{n}*x_{n}) [/mm] nach dem Einschliessungslemma ebenfalls gegen Null konvergieren. Reicht das schon als Beweis aus? Mir kommt das irgendwie zu leicht vor...
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Hallo,
> Sei [mm](b_{n})_{n}[/mm] eine beschränkte reelle Folge. Sei
> [mm](x_{n})_{n}[/mm] eine Nullfolge. Zeigen Sie, dass die Folge
> [mm](b_{n}*x_{n})_{n}[/mm] ebenfalls eine Nullfolge ist.
> [mm](b_{n})_{n}[/mm] ist beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt [mm]b,B\in\IR[/mm]
> mit [mm]b\le b_{n}\le[/mm] B
> Da [mm]x_{n}*b[/mm] gegen Null konvergiert und [mm]x_{n}*B[/mm] gegen Null
> konvergiert, muss [mm](b_{n}*x_{n})[/mm] nach dem
> Einschliessungslemma ebenfalls gegen Null konvergieren.
> Reicht das schon als Beweis aus? Mir kommt das irgendwie zu
> leicht vor...
Ich würde hier nicht mit dem Einschließungslemma argumentieren. Es ist ja gar nicht klar, wie sich [mm] x_n [/mm] verhält. [mm] x_n [/mm] kann erstmal eine ganze Weile rumspringen wie es will und trotzdem noch eine Nullfolge sein. D. h. die Einschließung muss zumindest in einem endlichen Startbereich gar nicht funktionieren. Das fehlt hier noch ein bisschen.
Das hier wäre sicherer:
[mm] b_n [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow |b_n|\leq [/mm] b mit b konstant.
Wegen [mm] x_n [/mm] Nullfolge gilt:
[mm] \forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon\in\IN [/mm] mit [mm] |x_n|<\frac{\varepsilon}{b} [/mm] für [mm] n\geq n_\varepsilon.
[/mm]
Daraus folgt für das jeweilige [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] n\geq n_\varepsilon:
[/mm]
[mm] |b_n\ x_n|=|b_n||x_n|\leq b|x_n|<\varepsilon, [/mm] denn [mm] |x_n|<\frac{\varepsilon}{b}.
[/mm]
Also ist auch [mm] |b_n x_n| [/mm] eine Nullfolge.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh ok vielen Dank :)
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