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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Nullstellen bestimmen
Nullstellen bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Fr 27.04.2012
Autor: georg1982

Aufgabe
Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion
[mm] $x^4-1$ [/mm]

Hallo, für eine Partialbruchzerlegung brauche ich einen Rechenweg die Nullstellen der Nenner Funktion zu bestimmen, diese ist [mm] $x^4-1$ [/mm]
Über Wolfram alpha weiß ich das [mm] $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ [/mm] ist ich brauche jedoch einen Rechenweg wie ich die Nullstellen einer Funktion der Form [mm] $x^n-1$ [/mm] bestimme.

        
Bezug
Nullstellen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 Fr 27.04.2012
Autor: rainerS

Hallo

> Bestimmen sie die Nullstellen der Funktion
>  [mm]x^4-1[/mm]
>  Hallo, für eine Partialbruchzerlegung brauche ich einen
> Rechenweg die Nullstellen der Nenner Funktion zu bestimmen,
> diese ist [mm]x^4-1[/mm]
>  Über Wolfram alpha weiß ich das [mm]x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)[/mm]
> ist ich brauche jedoch einen Rechenweg wie ich die
> Nullstellen einer Funktion der Form [mm]x^n-1[/mm] bestimme.

Das sind die []Einheitswurzeln.

Es gilt:

[mm] x^n-1=0 \gdw x^n=1 \implies |x|^n=1 \gdw |x|=1 [/mm] .

und damit bietet sich die Darstellung

[mm] x=e^{i\varphi} [/mm]

an:

[mm] x^n=1 \gdw e^{in\varphi} =1 \gdw in\varphi =2k\pi[/mm], [mm]k\in \IZ[/mm].

Also sind die n Nullstellen von [mm] $x^n-1$: [/mm]

[mm] 1,\zeta_n,\zeta_n^2\,\dots\zeta_n^{n-1}[/mm] mit [mm]\zeta_n = \exp\left(\bruch{2\pi i}{n}\right) [/mm] .

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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