Nullstellen durch ausklammern < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Sa 14.01.2017 | | Autor: | arti8 |
| Aufgabe | Ich möchte bzw. muss für eine Partialbruchzerlegung Nullstellen berechnen:
Der Nenner dazu lautet: [mm] x^{3}-x^{2}+x-1 [/mm] |
Hallo,
eigentlich sollte es einfach sein.
[mm] x^{3}-x^{2}+x-1=0
[/mm]
Nun könnte ich einfach durch probieren und einsetzen herausfinden welches die erste Nullstelle wäre. Würde da auf [mm] x_1=1 [/mm] kommen. Und dann könnte man eine Polynomdivision durchführen. Aber jetzt möchte ich gerne wissen ob ich auch ohne Polynomdivision eine Nullstelle wie im folgenden Fall bestimmen kann.
Aber ich frage mich ob es auch folgendermaßen geht:
[mm] x^{3}-x^{2}+x-1=0
[/mm]
[mm] x(x^{2}-x+1)=1 [/mm]
1.Fall : [mm] x_1=1
[/mm]
2.Fall: [mm] x^{2}-x+1=1 [/mm] /-1
[mm] x^{2}-x=0 [/mm]
Mit pq-Formel bekomme ich hier jetzt aber nicht meine komplexen Nullstellen, wie in meiner Lösung stehen.
Meine Frage lautet nun allgemein:
Kann man mit dem ausklammern nur Nullstellen bestimmen wenn in jedem Term mindestens ein x steckt ?
z.B. wenn die Gleichung jetzt lauten würde:
[mm] x^{3}-x^{2}+x=0
[/mm]
[mm] x(x^{2}-x+1)=0
[/mm]
1.Fall: [mm] x_1=0
[/mm]
2.Fall: [mm] (x^{2}-x+1)=0
[/mm]
[mm] x_2/3=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 So 15.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo arti8,
> Ich möchte bzw. muss für eine Partialbruchzerlegung
> Nullstellen berechnen:
>
> Der Nenner dazu lautet: [mm]x^{3}-x^{2}+x-1[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich sollte es einfach sein.
>
> [mm]x^{3}-x^{2}+x-1=0[/mm]
>
> Nun könnte ich einfach durch probieren und einsetzen
> herausfinden welches die erste Nullstelle wäre. Würde da
> auf [mm]x_1=1[/mm] kommen. Und dann könnte man eine Polynomdivision
> durchführen.
Das sieht gut aus mit [mm] x_1 [/mm] = 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber jetzt möchte ich gerne wissen ob ich
> auch ohne Polynomdivision eine Nullstelle wie im folgenden
> Fall bestimmen kann.
>
> Aber ich frage mich ob es auch folgendermaßen geht:
>
>
> [mm]x^{3}-x^{2}+x-1=0[/mm]
>
> [mm]x(x^{2}-x+1)=1[/mm]
>
> 1.Fall : [mm]x_1=1[/mm]
> 2.Fall: [mm]x^{2}-x+1=1[/mm] /-1
>
> [mm]x^{2}-x=0[/mm]
>
Hier ist Vorsicht geboten, denn der Nullstellensatz darf nur angewandt werden, wenn auf einer Seite des Gleichheitszeichens eine 0 ist und auf der anderen eine Linearfaktorzerlegung.
Der Hintergrund ist derjenige, dass im Falle (x-a) * (x-b) = 0 für x = a auf jeden Fall ein Term "null" wird und es nicht von Bedeutung ist, was mit dem Term (x-b) passiert, denn 0 mal irgendetwas ist null. Und (x-b) muss für x = a nicht notwendigerweise 0 sein! Hat man z.B. die Gleichung (x-2) * (x-1) = 0,
so ergibt sich einmal für x = 2: (2-2) * (2-1) = 0 * 1 = 0.
Hier siehst du, dass (2-2) = 0 wird, und es eben egal ist, was mit dem anderen Faktor passiert.
In der von dir umgeformten Gleichung [mm] x(x^{2}-x+1)=1 [/mm] erhält man mit [mm] x_1 [/mm] = 1 "zufälligerweise" (so ganz Zufall ist es nicht, weil [mm] x_1 [/mm] = 1 tatsächlich Nullstelle der Funktion ist) eine korrekte Gleichheit - es steht da 1 * 1 = 1.
Möchtest du aber [mm] x^{2}-x+1 [/mm] = 1 setzen, so erhältst du für [mm] x_2 [/mm] = 1 und für [mm] x_3 [/mm] = 0. Hier sieht man es schon: Setzt man [mm] x_3 [/mm] = 0 in [mm] x^{2}-x+1 [/mm] ein, so ergibt sich zwar 0 - 0 + 1 = 1, also ist die Gleichung [mm] x^{2}-x+1 [/mm] = 1 erfüllt, die Gleichung x * [mm] (x^{2}-x+1) [/mm] = 1 ist jedoch nicht erfüllt wegen 0 * 1 = 0!
Noch besser sieht man es z.B. bei der Gleichung [mm] x(x^{2}-x+1)=2
[/mm]
Wählt man hier im 1. Fall [mm] x_1 [/mm] = 2, so hat man [mm] 2(2^{2} [/mm] - 2 + 1) = 2*(4-2+1) = 2*(3) = 6 [mm] \not= [/mm] 2!
Setzt man im 2. Fall [mm] x^{2}-x+1 [/mm] = 2, so ergibt sich: [mm] x^{2}-x+1 [/mm] = 2 <=> [mm] x^{2} [/mm] - x - 1 = 0 und mit der Mitternachtsformel:
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Eingesetzt in obige Gleichung [mm] x(x^{2}-x+1) [/mm] erhält man mit [mm] x_2 [/mm] = [mm] \frac{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] folgendes: [mm] \frac{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] * [ [mm] (\frac{1+\wurzel{5}}{2})^{2} [/mm] - [mm] \frac{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] + 1] = [mm] \frac{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] * 2 [mm] \not= [/mm] 2
Analoges ergibt sich für [mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{1-\wurzel{5}}{2}
[/mm]
> Mit pq-Formel bekomme ich hier jetzt aber nicht meine
> komplexen Nullstellen, wie in meiner Lösung stehen.
>
> Meine Frage lautet nun allgemein:
> Kann man mit dem ausklammern nur Nullstellen bestimmen wenn
> in jedem Term mindestens ein x steckt ?
> z.B. wenn die Gleichung jetzt lauten würde:
>
> [mm]x^{3}-x^{2}+x=0[/mm]
> [mm]x(x^{2}-x+1)=0[/mm]
>
> 1.Fall: [mm]x_1=0[/mm]
> 2.Fall: [mm](x^{2}-x+1)=0[/mm]
> [mm]x_2/3=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-1}[/mm]
>
>
Um deine Frage zu beantworten:
Der Nullstellensatz also nur angewandt werden, wenn eine Seite = 0 ist und die andere Seite aus Linearfaktorzerlegungen besteht. [mm] x(x^{2}-x+1) [/mm] wäre eine solche Linearfaktorzerlegung.
Es wäre auch für Terme möglich, bei denen ein Summand kein x enthält!
Betrachte zum Beispiel den Term [mm] x^{2} [/mm] + 3x + 2, denn [mm] x^{2} [/mm] + 3x + 2 = (x+2)(x+1)
Setzt man also [mm] x^{2} [/mm] + 3x + 2 = 0, so lässt sich die Gleichung auch schreiben als (x+2)(x+1) = 0, wobei die linke Seite wieder eine Linearfaktorzerlegung wäre 
Viele Grüße,
X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:42 So 15.01.2017 | | Autor: | arti8 |
ahhh, ok cool. Vielen Dank für die nette Antwort. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:51 So 15.01.2017 | | Autor: | arti8 |
Aber gibt es eine einfach Methode die Linearfaktoren zu bestimmen ? Ich kenne nur die Methode über die Nullstellen der Gleichung.
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> Aber gibt es eine einfach Methode die Linearfaktoren zu
> bestimmen ? Ich kenne nur die Methode über die Nullstellen
> der Gleichung.
Hallo,
nein, eine "einfache" Methode gibt es nicht. Um zu wissen welche Linearfaktoren abgespalten werden können, braucht man nun mal die Nullstellen.
Wenn man normierte Polynome hat, und wenn deren Nullstellen ganzzahlig sind, müssen es Teiler "der Zahl ohne x" sein.
Klausuraufgaben etc. sind meist so gemütlich, daß man eine Nullstelle durc Probieren schnell findet, oder manchmal sind schon Nullstellen angegeben, und man muß dann nur noch die fehlenden herausfinden.
LG Angela
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Hallo,
> Aber gibt es eine einfach Methode die Linearfaktoren zu
> bestimmen ? Ich kenne nur die Methode über die Nullstellen
> der Gleichung.
Nein, sonst würde es das Gebiet der Algebra wohl nicht geben (die in den Schwierigkeiten rund um das Auffinden von Polynom-Wurzeln ihren Ausgangspunkt hat).
Wenn ein Polynom ganzzahlige Koeefizienten hat und sein Leitkoeffizient gleich 1 ist, dann besagt das ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Gauß, dass jede ganzzahlige Nullstelle das Absolutglied des Polynoms teilt.
Dies kann man oftmals verwenden, um Linearfaktoren zu gewinnen.
Gruß, Diophant
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> Ich möchte bzw. muss für eine Partialbruchzerlegung
> Nullstellen berechnen:
>
> Der Nenner dazu lautet: [mm]x^{3}-x^{2}+x-1[/mm]
> Hallo,
>
> eigentlich sollte es einfach sein.
>
> [mm]x^{3}-x^{2}+x-1=0[/mm]
>
> Nun könnte ich einfach durch probieren und einsetzen
> herausfinden welches die erste Nullstelle wäre. Würde da
> auf [mm]x_1=1[/mm] kommen. Und dann könnte man eine Polynomdivision
> durchführen. Aber jetzt möchte ich gerne wissen ob ich
> auch ohne Polynomdivision eine Nullstelle wie im folgenden
> Fall bestimmen kann.
>
> Aber ich frage mich ob es auch folgendermaßen geht:
>
>
> [mm]x^{3}-x^{2}+x-1=0[/mm]
>
> [mm]x(x^{2}-x+1)=1[/mm]
>
> 1.Fall : [mm]x_1=1[/mm]
> 2.Fall: [mm]x^{2}-x+1=1[/mm] /-1
>
> [mm]x^{2}-x=0[/mm]
>
> Mit pq-Formel bekomme ich hier jetzt aber nicht meine
> komplexen Nullstellen, wie in meiner Lösung stehen.
>
> Meine Frage lautet nun allgemein:
> Kann man mit dem ausklammern nur Nullstellen bestimmen wenn
> in jedem Term mindestens ein x steckt ?
Zunächst: Wenn du ein Produkt der Form a*b=0 hast, wobei a oder b selber noch sonstwas sein können (Klammern, Funktionen,...), dann muss a=0 oder b=0 sein. Wenn du aber z.B. a*b=1 hast, kann a=b=1 sein, aber auch a=4 und b = 1/4, a = 4711 und b = 1/4711 usw.. Dann gibt es unendlich viele Möglichkeiten, denn a und b müssen ja keine ganzen Zahlen sein.
Nun zu deiner Frage:
[mm] x^2-16 [/mm] = 0
In der 16 steckt kein x, aber trotzdem kannst du so zerlegen:
(x+4)(x-4) = 0 (bin. Formel), also x + 4 = 0 oder x - 4 = 0, also x = -4 oder x = 4.
Das geht auch mit deinem Problem - wenn du es siehst!
[mm] x^{3}-x^{2}+x-1 [/mm] = 0
Es fällt auf, dass x immer eine Potenz kleiner wird und zwischen den ersten beiden und den letzten beiden Gliedern ein Minus steht. Die ersten beiden Glieder enthalten eine x-Potenz, ein Minus und eine um 1 verminderte x-Potenz, die letzten beiden auch.
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] = [mm] x^2*(x [/mm] - 1) !!!
Somit [mm] x^{3}-x^{2}+x-1 [/mm] = 0
[mm] x^2*(x [/mm] - 1) + 1*(x - 1) = 0
[mm] (x^2 [/mm] + 1)*(x - 1)= 0 und schon hast du faktorisiert
Lösung: [mm] x^2 [/mm] + 1 = 0 oder x - 1 = 0, also [mm] x=\wurzel{-1} [/mm] = i, [mm] x=\wurzel{-1} [/mm] = -i oder x = 1.
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