Nullstellen eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man soll mit Hilfe der Hessematrix die Extrema herausfinden, allerdings muss ich zuerst den Gradient(1.Ableitung) bilden und dieser muss gleich dem Nullvektor sein.
grad. f(x,y) = [mm] \vektor{3x^2+6xy \\ 3x^2+6y -6}
[/mm]
Also muss ich zunächst den Gradienten 0 setzen und die Nullstellen ausrechnen, nur was muss ich dabei beachten ?!? Beim einstzen und auflösen ?
[mm] 3x^2+6xy=0
[/mm]
[mm] 3x^2+6y [/mm] -6=0 |
Eigentlich eine ganz simple Aufgabe, aber irgendwie erhalte ich, je nachdem nach was ich auflöse, unterschiedliche Nullstellen. Mach ich was falsch ?
Bsp. Ich nehme: [mm] 3x^2+6xy [/mm] = 0
und stelle diese nach y um: y = [mm] \bruch{-3x^2}{6x} [/mm] = [mm] \bruch{-1x^2}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{-1x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}x
[/mm]
das nun in die 2. gleichung für y einsetzen:
[mm] 3x^2+6(\bruch{-1}{2}x)-6=0 [/mm] // klammer lösen
= [mm] 3x^2 [/mm] -3x -6=0 // nun erhalte ich mit hilfe der PQ formel nur 2!!! nullstellen für x ....
ABER.... machen wir es mal anders.... nehme wir die 2. gleichung und lösen sie nach y auf:
[mm] 3x^2+6y-6=0: [/mm] y = [mm] \bruch{-3x^2 +6}{6} [/mm] = [mm] \bruch{-3x^2}{6} [/mm] + [mm] \bruch{6}{6} [/mm] = [mm] \bruch{-3x^2}{6} [/mm] + 1 = [mm] \bruch{-3}{6}x^2 [/mm] + 1 = [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] + 1
nun setzen wir y in die 1. gleichung ein:
[mm] 3x^2 [/mm] + 6x( [mm] -\bruch{1}{2}x^2 [/mm] + 1 ) = 0 //klammer lösen
[mm] 3x^2 -3x^3 [/mm] + 6x = [mm] -3x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + 6x
das wiederrum würde mir 3 Nullstellen für x geben ?!? wie kann das sein ? was mach ich falsch ?
gruß rudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Fr 29.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man soll mit Hilfe der Hessematrix die Extrema
> herausfinden, allerdings muss ich zuerst den
> Gradient(1.Ableitung) bilden und dieser muss gleich dem
> Nullvektor sein.
>
> grad. f(x,y) = [mm]\vektor{3x^2+6xy \\ 3x^2+6y -6}[/mm]
>
> Also muss ich zunächst den Gradienten 0 setzen und die
> Nullstellen ausrechnen, nur was muss ich dabei beachten ?!?
> Beim einstzen und auflösen ?
>
> [mm]3x^2+6xy=0[/mm]
> [mm]3x^2+6y[/mm] -6=0
> Eigentlich eine ganz simple Aufgabe, aber irgendwie
> erhalte ich, je nachdem nach was ich auflöse,
> unterschiedliche Nullstellen. Mach ich was falsch ?
>
> Bsp. Ich nehme: [mm]3x^2+6xy[/mm] = 0
>
> und stelle diese nach y um: y = [mm]\bruch{-3x^2}{6x}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1x^2}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{-1x}{2}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{2}x[/mm]
Das darfst Du nur machen, wenn Du voraussetzt, dass x [mm] \ne [/mm] 0 ist !
[mm] (y=\bruch{-3x^2}{6x})
[/mm]
>
>
> das nun in die 2. gleichung für y einsetzen:
>
> [mm]3x^2+6(\bruch{-1}{2}x)-6=0[/mm] // klammer lösen
>
> = [mm]3x^2[/mm] -3x -6=0 // nun erhalte ich mit hilfe der PQ
> formel nur 2!!! nullstellen für x ....
>
>
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>
> ABER.... machen wir es mal anders.... nehme wir die 2.
> gleichung und lösen sie nach y auf:
> [mm]3x^2+6y-6=0:[/mm] y = [mm]\bruch{-3x^2 +6}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{-3x^2}{6}[/mm] + [mm]\bruch{6}{6}[/mm] = [mm]\bruch{-3x^2}{6}[/mm] + 1 =
> [mm]\bruch{-3}{6}x^2[/mm] + 1 = [mm]-\bruch{1}{2}x^2[/mm] + 1
>
>
> nun setzen wir y in die 1. gleichung ein:
>
>
> [mm]3x^2[/mm] + 6x( [mm]-\bruch{1}{2}x^2[/mm] + 1 ) = 0 //klammer
> lösen
>
> [mm]3x^2 -3x^3[/mm] + 6x = [mm]-3x^3[/mm] + [mm]3x^2[/mm] + 6x
>
>
> das wiederrum würde mir 3 Nullstellen für x geben ?!? wie
> kann das sein ?
Hier taucht die Lösung x=0, welche Du oben verschenkt hast, wieder auf !
FRED
> was mach ich falsch ?
>
>
> gruß rudi
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danke, aber das beantwortet nicht meine frage...
weshalb erhalte ich mit der einen gleichung 3 NS für x und mit der anderen 2 ..... welche benutze ich denn um ALLE nullstellen zu bekommen ?
laut der lösung sind es nur 3 ?
du sagst:
y = $ [mm] \bruch{-3x^2}{6x} [/mm] $ =
> $ [mm] \bruch{-1x^2}{2x} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-1x}{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-1}{2}x [/mm] $
Das darfst Du nur machen, wenn Du voraussetzt, dass x $ [mm] \ne [/mm] $ 0 ist !
ok, das möchte ich nicht vorraussetzen, weil ich das ja garnicht weiß..... also darf ich die erste garnicht nach y auflösen ? sondern MUSS die zweite nach y auflösen ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Fr 29.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das darfst Du nur machen, wenn Du voraussetzt, dass x [mm]\ne[/mm] 0
> ist !
>
>
> ok, das möchte ich nicht vorraussetzen, weil ich das ja
> garnicht weiß.....
Du sollst dann Fallunterscheidungen machen:
1. Fall: Sei $x [mm] =0\,$
[/mm]
oder
2. Fall: Sei $x [mm] \neq 0\,$ [/mm] (und in diesem Fall ist das die Voraussetzung)
Wenn Du die Nullstellen von
[mm] $f(x)=x*(x^2+4x+4)$
[/mm]
suchst, machst Du ja auch nichts anderes...
Die "Gesamtnullstellenmenge" ist dann die Lösungsmenge des 1. Falls
vereint mit der des 2. Falls.
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | $ [mm] 3x^2+6xy=0 [/mm] $
$ [mm] 3x^2+6y [/mm] $ -6=0 |
ok, aber wie machen wir das nochmal ?
nehmen wir mal: $ [mm] 3x^2+6xy=0 [/mm] $
da klammern wir x aus.
x(3x+6y)=0
also hätten wir eine nullstelle bei x1=0 da das produkt immer 0 wird, wenn ein faktor =0 ist
nun nehmen wir uns den rest
3x+6y=0 und lösen ihn nach y auf:
y = [mm] \bruch{-3x}{6} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}x
[/mm]
das setzen wir nun für y in die 2. gleichung ein:
[mm] 3x^2+6(\bruch{-1}{2}x) [/mm] -6 = 0
= [mm] 3x^2-3x [/mm] -6 = 0
nun erhalte ich mit der pq formel: x2=2 x3= -1
.... ah ich verstehe was mein denkfehler war....vielen dank!!!
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und wie bekomme ich nun meine passenden y heraus ?
setze ich einfach mein x1=0 ; x2= -1 ; x3=2
in mein y= [mm] -\bruch{1}{2}x [/mm] ein ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 30.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Nein, nicht ganz. Du musst weiter beachten, welchen Fall Du untersuchst.
> nehmen wir mal: $ [mm] 3x^2+6xy=0 [/mm] $ da klammern wir x aus.
> x(3x+6y)=0 also hätten wir eine nullstelle bei x1=0 da das produkt immer
> 0 wird, wenn ein faktor =0 ist.
Nun weißt Du, dass die obere Gleichung in
$ [mm] 3x^2+6xy=0 [/mm] $
$ [mm] 3x^2+6y [/mm] -6=0$
erüllt ist. Damit das Gleichungssystem gelöst wird, musst Du nun x=0 in die untere Gleichung einsetzen und schauen, mit welchem y die gelöst wird.
Danach
> und wie bekomme ich nun meine passenden y heraus ?
> setze ich einfach mein x1=0 ; x2= -1 ; x3=2
> in mein y= [mm]-\bruch{1}{2}x[/mm] ein ?
Für x2 und x3 ja, denn die gehören zu diesem Fall.
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ja, erledigt. vielen dank für eure hilfe !
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